星期六 (综合限时练) 2022年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内完成得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n，直线x＋y＝2n总是把圆(x－n)2＋(y－)2＝2n2平均分为两部分，各项均为正数的等比列{bn}中，已知b6＝b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解 (1)由于x＋y＝2n总是把圆(x－n)2＋(y－)2＝2n2平均分为两部分，所以n＋＝2n.即Sn＝n2.所以a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝n2－(n－1)2＝2n－1，经检验n＝1时也成立，所以an＝2n－1.等比数列{bn}中由于b6＝b3b4，所以b1＝1，设公比为q>0，因为b3和b5的等差中项是2a3，且2a3＝10，所以b3＋b5＝20，所以q2＋q4＝20，解得q＝2，所以bn＝2n－1.(2)由于cn＝anbn，所以Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)2n－1，①2Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n，②所以－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)2n＝1＋2×－(2n－1)2n.所以－Tn＝－3＋2×2n－(2n－1)2n＝－3＋(3－2n)2n.Tn＝3＋(2n－3)2n.2.(本小题满分12分)某校在2022年2月份的高三期末考试结束后为了研究本校的数学成绩，现随机抽取了50名学生的数学成绩分析，现将成绩按如下方式分为7组，第一组[80，90)，第二组[90，100)，……第七组[140，150]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；(2)为了具体了解本次考试的情况，从成绩在[130，150]的同学中任意抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩位于[140，150]的概率是多少？解 (1)由频率分布直方图可知[120，130)的频率为：7\n1－(0.01×10＋0.02×10＋0.03×10＋0.016×10＋0.008×10＋0.004×10)＝1－0.88＝0.12，所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为85×0.1＋95×0.2＋105×0.3＋115×0.16＋125×0.12＋135×0.08＋145×0.04＝8.5＋19＋31.5＋18.4＋15＋10.8＋5.8＝109.(2)根据频率分布直方图可知成绩在[130，140)有50×0.08＝4(人)，记为a1，a2，a3，a4，成绩在[140，150]有50×0.04＝2(人)，记为b1，b2.从中任取2人共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，15种抽法.恰好有一人的成绩位于[140，150]的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，共有8种抽法.所以P＝，即恰好有一人的成绩位于[140，150]的概率是.3.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，已知四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是梯形且AB∥EF，AF⊥DE，EF＝2AF＝4，∠AFE＝60°.(1)求证：平面ABCD⊥平面ABEF；(2)线段BF上是否存在一点M，使得DF∥平面ACM，若存在，给出证明，不存在，说明理由.(1)证明 因为EF＝2AF＝4，∠AFE＝60°，所以AE2＝AF2＋EF2－2AF×EF×cos60°＝4＋16－8＝12，所以AE2＋AF2＝EF2，所以AE⊥AF.因为AF⊥DE且AE，DE⊂平面ADE，AE∩DE＝E，所以AF⊥平面ADE，因为AD⊂平面ADE，所以AF⊥AD，因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥AB，因为AB∩AF＝A，所以AD⊥平面ABEF，因为AD⊂平面ABCD.所以平面ABCD⊥平面ABEF.7\n(2)解 当点M为BF的中点时，DF∥平面ACM.证明：如图所示连接BD，AC且BD∩AC＝H，连接MH，因为四边形ABCD是正方形，所以H是BD的中点，因为M为BF的中点，所以DF∥HM，因为DF⊄平面ACM，MH⊂平面ACM，所以DF∥平面ACM.4.(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右端点分别为A1，A2，抛物线y2＝4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2＝.(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点(不与A1，A2重合)，求证：直线A2P与A2Q垂直.(1)解 如图所示：不妨设A(x0，y0)，(x0>0，y0>0).由题知AF2＝x0＋＝x0＋1＝，所以x0＝.所以y＝4×＝⇒y0＝，则A，由题知c＝1，有＋＝1，＋＝1，解得a2＝4.所以c＝1，a＝2.所以b2＝a2－1＝3，7\n所以椭圆的方程为＋＝1.(2)证明 ①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，由于⇒＝1－＝，所以y＝±，所以P，Q，因为A2(2，0)，所以kA2P＝＝－1，kA2Q＝＝1，所以kA2P×kA2Q＝－1，所以A2P⊥A2Q.②当直线l的斜率存在且不为0时，设为k，则直线的方程为y＝k，⇒49(3＋4k2)x2－112k2x＋16k2－12×49＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A2(2，0)，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以kA2P×kA2Q＝＝＝＝＝＝＝－1.所以A2P和A2Q垂直.5.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx－x＋1，g(x)＝－x2＋(a＋1)x＋1.(1)若对任意的x∈[1，e]，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)在其定义域内存在实数x0，使得h(x0＋k)＝h(x0)＋h(k)(k7\n≠0且为常数)，则称函数h(x)为保k阶函数，已知H(x)＝f(x)－(a－1)x＋a－1为保a阶函数，求实数a的取值范围.解 (1)因为对任意的x∈[1，e]，不等式f(x)≥g(x)恒成立，即alnx－x＋1≥－x2＋(a＋1)x＋1恒成立，a(x－lnx)≤x2－2x恒成立，由于x∈[1，e]，所以lnx≤lne＝1≤x，因为等号不能同时成立，所以lnx<x，即x－lnx>0，所以a≤恒成立.令F(x)＝，所以a≤F(x)min(x∈[1，e])，由于F′(x)＝，由于1≤x≤e，所以x－1≥0，x＋2－2lnx>0，所以F′(x)>0，所以函数F(x)＝在区间[1，e]上单调递增，所以F(x)≥F(1)＝＝－1，所以a≤－1.(2)因为H(x)＝f(x)－(a－1)x＋a－1＝alnx－ax＋a(x>0).根据保a阶函数的概念，所以存在x0>0，使得H(x0＋a)＝H(x0)＋H(a)，即a[ln(x0＋a)－(x0＋a)＋1]＝a(lnx0－x0＋1)＋a(lna－a＋1)＝a(lnx0－x0＋1＋lna－a＋1)，所以ln(x0＋a)－(x0＋a)＋1＝lnx0－x0＋1＋lna－a＋1，所以ln(x0＋a)＝lnx0＋lna＋1，即ln＝1，所以＝e，所以a＝，因为x0>0，所以a>，所以实数a的取值范围是a>.6.请同学从下面所给的三题中选定一题作答.7\nA.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E，求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.证明 (1)因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE.所以＝，所以AP·PE＝PD·PB.又因为PA，PB分别为圆O的切线和割线，所以PA2＝PB·PC，所以＝，所以PA·PD＝PE·PC.(2)连接AC，DE，因为BC为圆O的直径，所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC，又因为＝，所以AC∥DE.所以AB⊥DE，又因为BE⊥AP，AD⊥PB.所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，又因为AB⊥DE，所以AD＝AE.B.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为：ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋1＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点P(－1，1)且倾斜角为π.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.解 (1)因为直线l经过点P(－1，1)，倾斜角为π，则直线l的参数方程为：7\n(t为参数).由于曲线C的极坐标方程为：ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋1＝0，所以普通方程为x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4.(2)由于＋＝4⇒t2＋(2＋3)t＋9＝0.所以t1＋t2＝－(2＋3)，t1t2＝9.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝9.C.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|.(1)解关于x的不等式f(x)≥4－x；(2)设a，b∈{y|y＝f(x)}，试比较2(a＋b)与ab＋4的大小.解 (1)f(x)＝所以⇒x≤－3，或⇒1≤x≤2，或⇒x>2.所以不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞).(2)由(1)已知f(x)≥3，所以a≥3，b≥3.由于2(a＋b)－(ab＋4)＝2a－ab＋2b－4＝a(2－b)＋2(b－2)＝(a－2)(2－b)，由于a≥3，b≥3，所以a－2>0，2－b<0，所以(a－2)(2－b)<0，所以2(a＋b)<ab＋4.7
