星期六 (综合限时练) 2022年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟．)1．(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＋a6＝24，S11＝143，数列{bn}的前n项和为Tn，满足2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式及数列的前n项和；(2)是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数列？并说明理由．解 (1)设数列{an}的公差为d，由S11＝11a6＝143，∴a6＝13，又a5＋a6＝24，解得a5＝11，d＝2.因此{an}的通项公式是an＝a5＋(n－5)×2＝2n＋1(n∈N*)，所以＝，从而前n项的和为＋＋…＋＝＝.(2)因为a1＝3，2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N*)，所以4n＝λTn－2⇒Tn＝4n＋.当n＝1时，b1＝；当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝4n－1.所以bn＋1＝4bn(n≥2)，若{bn}是等比数列，则有b2＝4b1，而b1＝，b2＝，所以＝2，与b2＝4b1矛盾，故数列{bn}不是等比数列．2．(本小题满分12分)钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠．某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试，用7\n“10分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度，分别以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若所得分数不低于9.5分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”，若从这16人中随机选取3人，求至多有1人“非常了解”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据，若从该学校(人数可视为很多)任选3人，记ξ表示抽到“非常了解”的人数，求ξ的分布列及数学期望.解 (1)众数：8.6；中位数：＝8.75.(2)设Ai表示所取3人中有i个人对钓鱼岛“非常了解”，至多有1人对钓鱼岛“非常了解”记为事件A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.(3)ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝C＝；P(ξ＝2)＝C＝；P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为：ξ0123PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.75.另解：ξ的可能取值为0，1，2，3，则ξ～B，P(ξ＝k)＝C，所以E(ξ)＝3×＝0.75.3．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1＝2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且BE＝7\nBC1.(1)求证：GE∥侧面AA1B1B；(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的余弦值．(1)证明 连接B1E并延长，交BC于点F，连接AB1，AF，∵△B1EC1∽△FEB，BE＝EC1，∴BF＝BC，∴点F为BC中点．∵G为△ABC的重心，∴＝＝，∴GE∥AB1，AB1⊂平面AA1B1B，GE⊄平面AA1B1B，∴GE∥侧面AA1B1B.(2)解 侧面AA1B1B⊥底面ABC，∠A1AB＝60°，AA1＝AB＝2，取AB中点O，则A1O⊥平面ABC，以O为坐标原点，以射线OC、OB、OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，A1(0，0，)，B1(0，2，)，C1(，1，)，G.∴＝＝(，0，)，∴E，∴＝，＝.设平面B1GE的法向量为n＝(a，b，c)，则由∴n＝.又平面ABC的法向量m＝(0，0，1)，∴cos〈m，n〉＝＝，故平面B1GE与底面ABC所成的锐二面角的余弦值为.4．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点Q，且离心率e＝，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)判断是否存在直线l，满足2＝＋，2＝＋？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．7\n解 (1)由已知得解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)假设存在直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，交x轴于C(c，0)，交y轴于D(0，d)．由2＝＋，2＝＋，得＝，＝，即C、D为线段MN的三等分点，由y＝kx＋m，取y＝0，得c＝－，即C，取x＝0，得d＝m，即D(0，m)．联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，①∴x1＋x2＝－，∵C、D为线段MN的三等分点，则－＝－，解得k2＝，k＝±.当k＝时，方程①化为2x2＋2mx＋2m2－2＝0.解得x1＝，x2＝.由＝－2，解得m＝±.同理求得当k＝时，m＝±.∴满足条件的直线l存在，方程为y＝x±或y＝－x±.5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝[ax2＋(a－1)2x－a2＋3a－1]ex(a∈R)．(1)若函数f(x)在(2，3)上单调递增，求实数a的取值范围；7\n(2)若a＝0，设g(x)＝＋lnx－x，斜率为k的直线与曲线y＝g(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2)两点，证明：(x1＋x2)k＞2.(1)解 f′(x)＝ex，当a≥0时，∵x∈(2，3)，∴f(x)在(2，3)上单调递增；当a＜0，∵f(x)在(2，3)上单调递增，f′(x)＝a(x＋a)(x＋)·ex≥0，(ⅰ)当－1＜a＜0时，得－a≤x≤－，依题意知(2，3)⊆，得－≤a＜0；(ⅱ)当a＝－1时，f′(x)＝－(x－1)2·ex≤0，不合题意，舍去；(ⅲ)当a＜－1时，得－≤x≤－a依题意知(2，3)⊆，得a≤－3.综上得：a∈(－∞，－3]∪.(2)证明 当a＝0时，g(x)＝＋lnx－x＝lnx－1，k＝，要证(x1＋x2)k＞2，即证(x1＋x2)·＞2，∵x2－x1＞0，即证ln＞.令h(x)＝lnx－(x＞1)，则h′(x)＝－＝＞0，∴h(x)在(1，＋∞)单调递增，h(x)＞h(1)＝0.∴ln＞.即(x1＋x2)k＞2成立．6．请同学从下面所给的三题中选定一题作答A．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲．如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB的平分线CD交AE于点F，交AB于点D.(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC，求AC∶BC.解 (1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC，7\n又∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB，∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.又∵BE为圆O的直径，∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴＝.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，∴Rt△ABE中，＝tanB＝tan30°＝，∴＝＝.B．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(2)设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标．解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1，ρcos＝2化简为：ρcosθ＋ρsinθ＝4，∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝4.(2)设点P的坐标为(2cosα，sinα)，得P到直线l的距离d＝.令sinφ＝，cosφ＝，则d＝.7\n当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝.此时α＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴cosα＝cos＝－sinφ＝－，sinα＝sin＝－cosφ＝－，即点P的坐标为.C．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A.(1)若a＝1，求A；(2)若A＝R，求a的取值范围．解 (1)当x≥时，2x－1＋x＋3≥2x＋4，∴x≥2；当－3＜x＜时，1－2x＋x＋3≥2x＋4，∴－3＜x≤0；当x≤－3时，1－2x－x－3≥2x＋4，∴x≤－3.综上，原不等式的解集A＝{x|x≤0，或x≥2}．(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．当x＞－2时，|2x－a|＋|x＋3|＝|2x－a|＋x＋3≥2x＋4，即|2x－a|≥x＋1，得x≥a＋1或x≤，所以a＋1≤－2或a＋1≤，得a≤－2，综上，a的取值范围为(－∞，－2]．7
