第25练 空间几何体的三视图及表面积与体积[题型分析·高考展望] 三视图作为新课标新增加的内容，是高考的热点和重点：其考查形式多种多样，选择题、填空题和综合解答题都有出现，而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识，涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明.专题6 立体几何与空间向量常考题型精析题型一 三视图识图例1 (1)(2022·湖北)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②(2)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为( )12\n点评 画法规则：(1)由几何体的轮廓线定形状，看到的画成实线，看不到的画成虚线.(2)正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高.变式训练1 (2022·江西)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )题型二 空间几何体的表面积和体积例2 (1)(2022·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋B.2＋C.1＋2D.2(2)(2022·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.12\n点评 利用三视图求几何体的表面积、体积，需先由三视图还原几何体，三个图形结合得出几何体的大体形状，由实虚线得出局部位置的形状，再由几何体的面积体积公式求解.变式训练2 (2022·陕西)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形. 高考题型精练1.(2022·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于( )12\nA.1B.2C.4D.82.(2022·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π3.(2022·浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为( )12\nA.36(π＋)B.36(π＋2)C.108πD.108(π＋2)5.(2022·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.726.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为( )A.(6－3)πB.(8－4)πC.(6＋3)πD.(8＋4)π7.已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为( )A.3B.2C.D.18.(2022·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.B.12\nC.D.2π9.(2022·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________.10.一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图是等边三角形，俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为________.11.(2022·西安模拟)如图所示是一几何体的直观图及正(主)视图、侧(左)视图、俯视图.(1)若F为PD的中点，证明：AF⊥平面PCD；(2)证明：BD∥平面PEC. 12.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC12\n折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图2所示.(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D—ABC的体积. 12\n答案精析专题6立体几何与空间向量第25练 空间几何体的三视图及表面积与体积常考题型精析例1 (1)D (2)B解析 (1)由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.(2)还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.变式训练1 B[该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.]例2 (1)B (2)π解析 (1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故选B.(2)由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1m，圆锥的高为1m，圆柱的高为2m，所以该几何体的体积V＝2×π×12×1＋π×12×2＝πm3.变式训练2 解 由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.(2)证明 ∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，12\n又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形.高考题型精练1.B[由正(主)视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.]2.A[这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋××1＝π＋，选A.]3.D[该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6cm,4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm,4cm，5cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋＝99＋39＝138(cm2).]4.B[由俯视图可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正(主)视图和侧(左)视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的高相等.由三视图中的数据，可得该圆锥的底面半径r＝6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为6的等腰三角形，两个锥体的高h＝＝6，故半圆锥的体积V1＝×π×62×6＝36π.三棱锥的底面积S＝×12×6＝36，三棱锥的体积V2＝Sh＝×36×6＝72.故该几何体的体积V＝V1＋V2＝36π＋72＝36(π＋2).故选B.]5.B[由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正(主)视图和侧(左)视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为12\n×(2＋5)×4＝14，计算可得A1P＝5.直角梯形BCC1P的面积为×(2＋5)×5＝.因为A1C1⊥平面A1ABP，A1P⊂平面A1ABP，所以A1C1⊥A1P，故Rt△A1PC1的面积为×5×3＝.又Rt△ABC的面积为×4×3＝6，矩形ACC1A1的面积为5×3＝15，故几何体ABC－A1PC1的表面积为14＋＋＋6＋15＝60.]6.A[设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1A＋O1O2＋O2C1＝，而O1A＝r1，O1O2＝r1＋r2，O2C1＝r2，∵r1＋r1＋r2＋r2＝.∴r1＋r2＝，从而S1＋S2＝4πr＋4πr＝4π(r＋r)≥4π·＝(6－3)π.]7.C[如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.由于SC是球的直径，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，又∠ASC＝∠BSC＝30°，又SC为公共边，所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC，所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以VS—ABC＝VS—ABD＋VC—ABD＝S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中，∠ASC＝30°，SC＝4，所以AC＝2，SA＝2，由于AD＝＝.同理在Rt△BSC中也有BD＝＝.又AB＝，所以△ABD为正三角形，12\n所以VS—ABC＝S△ABD·SC＝××()2·sin60°×4＝，所以选C.]8.C[过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π·12·2－π·12·1＝，故选C.]9.2解析 根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P－ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC的中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝，所以最长的棱为PC，PC＝＝2.10.＋解析 如图所示，侧面展开图为一个四分之一圆与一个等边三角形，从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，蚂蚁所经过路程的最小值为|AA1|＝＝＝＋.11.证明 (1)由几何体的三视图，可知底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4.因为PA＝AD，F为PD的中点，所以PD⊥AF.又CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA＝A，所以CD⊥平面ADP.所以CD⊥AF.又CD∩DP＝D，所以AF⊥平面PCD.(2)取PC的中点M，连接AC，EM，AC与BD的交点为N，连接MN，所以MN＝PA，MN∥PA.所以MN＝EB，MN∥EB.故四边形BEMN为平行四边形.所以EM∥BN.又EM⊂平面PEC，BN⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.12.(1)证明 在图中，可得AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.12\n又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.(2)解 由(1)可知BC为三棱锥B—ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB—ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体D—ABC的体积为.12
