专题检测（十）空间几何体的三视图、表面积及体积A组——“12＋4”满分练一、选择题1．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选A由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A.故选A.2．(2019·福州市质量检测)棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1木块的直观图如图所示，平面α过点D且平行于平面ACD1，则该木块在平面α内的正投影面积是()3A.3B．32C.2D．1解析：选A棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1木块在平面α内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为2的等边三角形，13所以木块在平面α内的正投影面积是2××2×2×＝3.故选A.223．已知矩形ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1与S2的比值等于()1A.B．12C．2D．4解析：选B设BC＝a，AB＝2a，所以S1＝2π·a·2a＝4πa2，S2＝2π·2a·a＝4πa2，S1∶S2＝1.故选B.4．设球O是正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为()\n3A.B．323C.D．32解析：选B如图，易知B1D过球心O，且B1D⊥平面ACD1，不a1妨设垂足为M，正方体棱长为a，则球半径R＝，易知DM＝DB1，∴23a21326OM＝DB1＝a，∴截面圆半径r＝2－OM＝a，由截面圆面66626a积S＝πr＝6π，得r＝a＝6，a＝6，∴球O的半径为R＝＝3.故选B.625．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥ABC1M的体积VABC1M＝()11A.B．2411C.D．6121111解析：选CVABC1M＝VC1ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故选C.33266．(2019·武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()24A.πB．π33C．2πD．25π解析：选B由三视图知，该几何体是由两个底面半径为1，高为2的圆锥组成的，所以14π该几何体的体积V＝2××12×π×2＝.故选B.337．在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积236分别为，，，则该三棱锥的体积为()2226A.6B．6\nC．6D．26236解析：选B由△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，且AB，AC，AD两两222垂直，12AB·AC＝，2213可得AD·AC＝，2216AB·AD＝，22三个式子相乘可得(AB·AC·AD)2＝6，116∴该三棱锥的体积V＝×AB·AC·AD＝.故选B.3268．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()3πA．πB．4ππC.D．24解析：选B设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，过圆柱的轴线1223作一截面，如图．由勾股定理得r＝R－2＝.∴该圆柱的体积V2323π＝Sh＝π×2×1＝.故选B.49．若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切球．已知正四面体的棱长为2，则它的棱切球的体积为()3ππA．B．546π3πC．D．32解析：选B将棱长为2的正四面体放入棱长为1的正方体中，则正四面体的棱为正方14体的面对角线，所以正四面体的棱切球即为正方体的内切球，则球的半径R＝，体积V＝π23πR3＝.故选B.610．已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝3，AC＝3.若三棱锥DABC体积的最33大值为，则球O的表面积为()4\nA．36πB．16π16C．12πD．π3解析：选B设△ABC的外接圆的半径为r，∵AB＝BC＝3，AC＝3，∴∠ABC＝120°，333∴2r＝＝23，∴S△ABC＝，△ABC的外接圆的半径为3.∵三棱锥DABC的体积的sin120°4最大值为33，∴点D到平面ABC的最大距离为3.设球O的半径为R，则r2＝R2－(3－R)2，4解得R＝2，∴球O的表面积为4πR2＝16π.故选B.11．已知一个半径为7的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则正三棱柱的体积是()A．18B．16C．12D．8解析：选A设正三棱柱的棱长为2a，如图，取球心为O，过点O作OO′垂直三棱柱的上底面于点O′，连接点O′与上底面顶点A交对棱于点B.23则AB＝3a，AO′＝a，OO′＝a.3在Rt△OO′A中，由勾股定理，得OA2＝OO′2＋O′A2.∵OA＝7，∴7＝a2＋4a2＝7a2.33整理得a2＝3，∴a＝3.∴棱长为2a＝23.∴正三棱柱的体积1V＝×23×23×sin60°×23＝18.2故选A.12.(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()3πA.B．2π43π9πC.D．24解析：选C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，1如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，4\n2π3π所以所有弧长之和为3×＝.故选C.42二、填空题13．(2019·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是2的三棱锥，则该三棱锥的体积为______．解析：记所有棱长都是2的三棱锥为PABC，如图所示，取BC的中点D，连接AD，PD，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABC，且OP6231132＝×2＝，故三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·OP＝××(2)33334231×＝.331答案：314.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为______．解析：依题意知，四棱锥MEFGH为正四棱锥，正方形EFGH的边121221长为2＋2＝，四棱锥MEFGH的高为，所以四棱锥MEFGH2222111的体积为×2×＝.32121答案：1215．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为______．解析：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为21433，半球的半径为3，所以组合体的体积为π×3×5＋×π×3＝63π.23答案：63π\n16．已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为______．解析：设球O的半径为R，由平面ABC截球O所得截面的面积为9π，得△ABC的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D，因为AB⊥BC，所以点D为AC的中点，所以DC＝3.1因为PA⊥平面ABC，易证PB⊥BC，所以PC为球O的直径．又PA＝8，所以OD＝PA＝4，2所以R＝OC＝42＋32＝5，所以球O的表面积为S＝4πR2＝100π.答案：100πB组——“5＋3”提速练1.(2019·合肥市第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选C由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥SABCD，平面SCD⊥平面ABCD.因为AD⊥DC，BC⊥DC，且平面SCD∩平面ABCD＝DC，所以AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD.又由三视图知SC⊥SD，同时由AD⊥平面SCD，知AD⊥SC，又SD∩AD＝D,所以SC⊥平面SAD，所以平面SBC⊥平面SAD.综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．故选C.BP12．在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段B1C1PD12上的动点，则三棱锥MPBC的体积为()3A．1B．29C.D．与M点的位置有关2BP11解析：选B∵＝，∴点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的，即PD123D1C119为＝1.M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝×3×3＝，322193∴VMPBC＝VPMBC＝××1＝.故选B.3223．已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，\n点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为()110，0，A.3B．2112，1，C.2D．23解析：选B由题意，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图所示，1当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，当0＜BM≤时，截21面为四边形，当BM＞时，截面为五边形．故选B.24．已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为()A．22B．3C．23D．4解析：选C如图，不妨设N在B处，设AM＝h，CQ＝m，则MB2＝h2＋4，BQ2＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－hm＋2＝0.Δ＝h2－8≥0⇒h2≥8，该直角三角形斜边MB＝4＋h2≥23，故该直角三角形斜边长的最小值为23.故选C.5．(2019·郑州市第二次质量预测)在△ABC中，已知AB＝23，BC＝26，∠ABC＝45°，D是边AC上的一点，将△ABD沿BD折叠，得到三棱锥ABCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，设BM＝x，则x的取值范围是()A．(0，23)B．(3，6)C．(6，23)D．(23，26)解析：选C将△ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，且点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，所以在图b中，AM⊥平面BCD，MN，AN都与BD垂直，因此，折叠前在图a中，AM⊥BD，垂足为N，在图a中可得当D点与C点无限接近时，折痕BD接近BC，此时M与点M1无限接近．在图b中，由于AB是Rt△ABM的斜边，BM是直角边，所以BM＜AB，由此可得BM1＜BM＜AB，因为在Rt△AM1B中，BM1＝ABcos45°2＝23×＝6，所以6＜BM＜23，即6＜x＜23.故选C.2\n6.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥BACC1D的体积为________．解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D.因为AB＝2，所以BO＝3.因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2，1所以S梯形ACC1D＝×(2＋4)×2＝6，21所以四棱锥BACC1D的体积为×6×3＝23.3答案：237．已知在正四棱锥SABCD中，SA＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥SABCD中，SA＝a21263，所以＋h2＝108，即a2＝216－2h2，所以正四棱锥的体积V23SABCD＝ah＝72h－h，令233232y＝72h－h，则y′＝72－2h，令y′>0，得0<h<6，令y′<0，得h>6，所以当该棱锥的体积最3大时，它的高为6.答案：68．(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．12×3223123解析：该三棱锥侧面的斜高为3＋1＝，则S侧＝3××2×＝23，S底3231＝×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S表＝23＋3＝33.由题意知，当球与三棱锥的四个211面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥＝S表·r＝S331434π底·1，所以33r＝3，所以r＝，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝πr＝.33814π答案：3381\n
