考点一 三角函数的求值与化简1．(2022·重庆，6)若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝( )A.B.C.D.解析 tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.答案 A2．(2022·新课标全国Ⅱ，6)已知sin2α＝，则cos2等于( )A.B.C.D.解析 由半角公式可得，cos2＝＝＝＝.答案 A3．(2022·四川，5)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于( )A.B.C.D.解析 因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝.又因为在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC＝，cos∠BEC＝.于是sin∠CED＝sin＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.6\n故选B.答案 B4．(2022·四川，14)设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．解析 ∵sin2α＝－sinα，α∈，∴2sinαcosα＝－sinα，cosα＝－.∵α∈，∴α＝，2α＝.∴tan2α＝tan＝.答案 5．(2022·广东，16)已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．解 (1)tan＝＝＝＝－3；(2)＝＝＝＝＝1.6．(2022·广东，16)已知函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f()的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f.解 (1)f＝cos＝cos＝1.(2)∵cosθ＝，θ∈，sinθ＝－＝－，6\n∴f＝cos＝＝－.考点二 三角恒等变换的综合问题1．(2022·浙江，6)函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是( )A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2解析 f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，最小正周期T＝＝π，振幅为1.答案 A2．(2022·新课标全国Ⅰ，16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．解析 化成一般式得y＝sin(x－φ)，sin(θ－φ)＝1即θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)．∴cosθ＝cos＝－sinφ＝－.答案 －3．(2022·北京，15)已知函数f(x)＝sinx－2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值．解 (1)因为f(x)＝sinx＋cosx－.＝2sin－.所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤时，所以≤x＋≤π.当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．6\n所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.4．(2022·福建，21)已知函数f(x)＝10sincos＋10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.(1)解 因为f(x)＝10sincos＋10cos2＝5sinx＋5cosx＋5＝10sin＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.(2)证明 ①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sinx＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sinx＋5－a的图象．又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.所以g(x)＝10sinx－8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0－8＞0，即sinx0＞.由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0＝.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sinx＞.因为y＝sinx的周期为2π，所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sinx＞.因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，6\n所以对任意的正整数k，都存在正整数x0∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sinxk＞.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.5．(2022·广东，16)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.解 (1)∵f(x)＝Asin，且f＝，∴Asin＝⇒Asin＝⇒A＝3.(2)由(1)知f(x)＝3sin，∵f(θ)－f(－θ)＝，∴3sin(θ＋)－3sin＝，展开得3－3＝，化简得sinθ＝，∵θ∈，∴cosθ＝.∴f＝3sin＝3sin＝3cosθ＝.6．(2022·浙江，18)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sinAsinB＝2＋.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．解 (1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋，6\n化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝，故cos(A＋B)＝－.所以A＋B＝，从而C＝.(2)因为S△ABC＝absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝.7．(2022·北京，15)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．解 (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)·sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝.故α＝.6
