考点一 正弦定理、余弦定理的应用1．(2022·广东，5)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝，且b<c，则b＝( )A.B．2C．2D.解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.答案 C2．(2022·北京，5)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB等于( )A.B.C.D．1解析 根据正弦定理，＝，则sinB＝sinA＝·＝，故选B.答案 B3．(2022·湖南，5)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )A.B.C.D.解析 由正弦定理＝.又2asinB＝b，即＝.则有＝，可得sinA＝，由于△ABC是锐角三角形，故A＝.答案 A4．(2022·山东，7)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c等于( )A．2B．2C.D．1解析 由正弦定理得：＝，15\n即＝，所以cosA＝，又A∈(0，π)，所以A＝，B＝，C＝，c＝＝2.答案 B5．(2022·安徽，9)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C等于( )A.B.C.D.解析 由3sinA＝5sinB，得b＝a.又b＋c＝2a，所以c＝2a－b＝a.由余弦定理可得cosC＝＝－，C∈(0，π)，所以C＝.答案 B6．(2022·湖南，8)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )A.B.C.D.解析 如图，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2AB×，AB2－2AB－3＝0，∴AB＝3或AB＝－1(舍去)，则BC边上的高AD＝ABsinB＝3×sin60°＝.答案 B7．(2022·北京，11)在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________．15\n解析 由正弦定理得sin∠B＝＝＝，因为∠A为钝角，所以∠B＝.答案 8．(2022·重庆，13)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________．解析 由3sinA＝2sinB，得3a＝2b，∴b＝a＝×2＝3，在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋32－2×2×3×＝16，解得c＝4.答案 49．(2022·安徽，12)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.解析 由已知∠C＝60°，由正弦定理得＝，∴AC＝＝＝2.答案 210．(2022·湖北，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________．解析 由正弦定理＝得sinB＝＝，又B∈，所以B＝或.答案 或11．(2022·福建，14)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．解析 在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以AB＝＝1.答案 112．(2022·北京，12)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝________；sinA＝________．15\n解析 根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×＝4，故c＝2，因为cosC＝，于是sinC＝＝，于是，由正弦定理，sinA＝＝＝(或：由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝＝，于是，sinA＝＝)．答案 2 13．(2022·北京，11)在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C的大小为________．解析 由正弦定理得＝，即＝，∴sinB＝.又a＞b，∴A＞B，∴B＝.又A＋B＋C＝π，∴C＝.答案 14．(2022·福建，13)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝，则AC＝________．解析 由正弦定理知＝，代入数据得＝，∴AC＝.答案 15．(2022·北京，9)在△ABC中，若b＝5，B＝，sinA＝，则a＝________．解析 由正弦定理＝，得a＝＝.故填.答案 16．(2022·江苏，15)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．解 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝15\n.(2)由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝＝＝.因此sin2C＝2sinC·cosC＝2××＝.17．(2022·新课标全国Ⅰ，17)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．解 (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝＝.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.所以△ABC的面积为1.18．(2022·重庆，18)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；(2)若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．解 (1)由题意可知：c＝8－(a＋b)＝.由余弦定理得：cosC＝15\n＝＝－.(2)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC可得：sinA·＋sinB·＝2sinC，化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知：a＋b＝3c.又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.由于S＝absinC＝sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.19．(2022·山东，17)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．解 (1)在△ABC中，由题意知sinA＝＝，又因为B＝A＋，所以sinB＝sin＝cosA＝.由正弦定理可得b＝＝＝3.(2)由B＝A＋得cosB＝cos＝－sinA＝－.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)15\n＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.因此△ABC的面积S＝absinC＝×3×3×＝.20．(2022·陕西，16)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cosB的值．(1)证明 ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)解 由题设有b2＝ac，c＝2a，∴b＝a，由余弦定理得cosB＝＝＝.21．(2022·天津，16)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝.求：(1)b的值；(2)sin的值．解 (1)在△ABC中，由＝，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.由b2＝a2＋c2－2accosB，cosB＝，可得b＝.(2)由cosB＝，得sinB＝，进而得cos2B＝2cos2B－1＝－，sin2B＝2sinBcosB＝.15\n所以sin＝sin2Bcos－cos2Bsin＝.22．(2022·浙江，18)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解 (1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB，所以tanB＝，所以B＝.(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2.考点二 解三角形及其应用1．(2022·四川，8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析 ∵tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)，故选C.答案 C2．(2022·新课标全国Ⅱ，4)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )A．2＋2B.＋115\nC．2－2D.－1解析 由正弦定理＝及已知条件得c＝2.又sinA＝sin(B＋C)＝×＋×＝，∴S△ABC＝×2×2×＝＋1，故选B.答案 B3．(2022·新课标全国Ⅰ，10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b等于( )A．10B．9C．8D．5解析 由23cos2A＋cos2A＝0得25cos2A＝1，因为A为锐角，所以cosA＝.又由a2＝b2＋c2－2bccosA得49＝b2＋36－b，整理得5b2－12b－65＝0，解得b＝－(舍)或b＝5，故选D.答案 D4．(2022·四川，8)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( )A.B.C.D.解析 由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理，得cosA＝≥.又0＜A＜π，所以0＜A≤.故选C.答案 C5．(2022·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.15\n解析 依题意，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，由正弦定理得＝，得BC＝300，在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝100(m)．答案 1006．(2022·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析 在三角形ABC中，AC＝100，在三角形MAC中，＝，解得MA＝100，在三角形MNA中，＝sin60°＝，故MN＝150，即山高MN为150m.答案 1507．(2022·上海，5)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则角C的大小是________．解析 由a2＋ab＋b2－c2＝0可得a2＋b2－c2＝－ab；由余弦定理得cosC＝＝－，所以C＝.答案 8．(2022·陕西，13)在△ABC中，角A、B、C所对应的边的长分别为a，b，c，若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________．解析 由余弦定理，得b2＝22＋(2)2－2×2×2cos＝4＋12－12＝4，所以b＝2.故填2.15\n答案 29．(2022·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.解 (1)由正弦定理得＝，＝.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sin∠C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos∠B＋sin∠B.由(1)知2sin∠B＝sin∠C，所以tan∠B＝，即∠B＝30°.10．(2022·天津，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－.(1)求a和sinC的值；(2)求cos的值．解 (1)在△ABC中，由cosA＝－，可得sinA＝.由S△ABC＝bcsinA＝3，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.由＝，得sinC＝.(2)cos＝cos2A·cos－sin2A·sin＝15\n(2cos2A－1)－×2sinA·cosA＝.11．(2022·山东，17)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB＝，sin(A＋B)＝，ac＝2，求sinA和c的值．解 在△ABC中，由cosB＝，得sinB＝，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝.因为sinC＜sinB，所以C＜B，可知C为锐角．所以cosC＝.因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.由＝，可得a＝＝＝2c，又ac＝2，所以c＝1.12．(2022·湖南，17)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA.(1)证明：sinB＝cosA；(2)若sinC－sinAcosB＝，且B为钝角，求A，B，C.解 (1)由正弦定理知＝＝＝2R，∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入a＝btanA得：∴sinA＝sinB·，又∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，15\n∴1＝，即sinB＝cosA.(2)由sinC－sinAcosB＝知，sin(A＋B)－sinAcosB＝，∴cosAsinB＝.由(1)知，sinB＝cosA，∴cos2A＝，由于B是钝角，故A∈，∴cosA＝，A＝.sinB＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.13．(2022·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan＝2.(1)求的值；(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．解 (1)由tan＝2，得tanA＝.所以＝＝.(2)由tanA＝，A∈(0，π)，得sinA＝，cosA＝.又由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.15\n由sinC＝sin(A＋B)＝sin得sinC＝，设△ABC的面积为S，则S＝absinC＝9.14．(2022·湖南，19)如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．解 如题图，设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC.于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0.解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得＝，于是，sinα＝＝＝，即sin∠CED＝.(2)由题设知，0＜α＜，于是由(1)知，cosα＝＝＝.而∠AEB＝－α，所以cos∠AEB＝cos＝coscosα＋sinsinα＝－cosα＋sinα15\n＝－·＋·＝.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，故BE＝＝＝4.15
