考点一 函数的实际应用问题1．(2022·湖北，16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．解析 (1)F＝≤＝1900，当且仅当v＝11时等号成立．(2)F＝≤＝2000，当且仅当v＝10时等号成立，2000－1900＝100.答案 (1)1900 (2)1002．(2022·陕西，14)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．解析 设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.答案 203．(2022·福建，16)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及实数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．解析 依题意得x＝，(c－a)2＝(b－c)(b－a)，∵b－c＝(b－a)－(c－a)，∴(c－a)2＝(b－a)2－(b－a)(c－a)，7\n两边同除以(b－a)2，得x2＋x－1＝0，解得x＝.∵0＜x＜1，∴x＝.答案 4．(2022·重庆，20)某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，故函数V(r)的定义域为(0，5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．考点二 函数的综合应用问题1．(2022·山东，9)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，7\n都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)解析 由题意可得准偶函数的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴．选项A、C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对称轴为y轴，只有选项D中函数的图象存在不是y轴的对称轴．答案 D2．(2022·四川，15)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B，现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)解析 ①显然正确；②反例：函数y＝的值域为(0，1)，存在M＝1符合题意，但此函数没有最值；③当f(x)趋于＋∞时，无论g(x)在[－M，M]内如何取值，f(x)＋g(x)都趋于＋∞，所以f(x)＋g(x)不可能有最大值，此命题正确；④由于ln(x＋2)的值域为R，的值域为，由③知如果a≠0，则函数f(x)＝aln(x＋2)＋的值域为R，无最大值，与已知矛盾，所以a＝0，所以此命题正确．答案 ①③④3．(2022·福建，16)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为10.7\n现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为________．解析 根据题目中图③给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图③调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.答案 164．(2022·湖南，16)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为______；(2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________．解析 (1)由题可知f(n)∈N*，而k＝1时，若n＞1，则f(n)＝n－1∈N*，故只须f(1)∈N*，故f(1)＝a(a为正整数)．(2)由题可知k＝4，若n＞4，则f(n)＝n－4∈N*，而n≤4时，2≤f(n)≤3，即f(n)∈{2，3}，当n＝1时，f(n)＝2或3，当n＝2时，f(n)＝2或3，当n＝3时，f(n)＝2或3，当n＝4时，f(n)＝2或3，故共可构成不同的函数f的个数为16.答案 (1)a(a为正整数) (2)165．(2022·江西，21)设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f(f())；7\n(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点，证明：函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．解 (1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)f(f(x))＝当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2＜x≤a时，由(a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f()＝·＝≠，故x＝为f(x)的二阶周期点；当a＜x＜a2－a＋1时，由(x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，因为f()＝·(1－)＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由(1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)因为f＝·(1－)＝≠，故x＝为f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，7\nx1＝，x2＝.(3)由(2)得A，B，则S(a)＝·，S′(a)＝·，因为a∈，有a2＋a＜1，所以S′(a)＝·＝·＞0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3，因a∈(0，1)，g′(a)＜0，则g(a)在区间上的最小值为g＝＞0，故对于任意a∈，g(a)＝a3－2a2－2a＋2＞0，S′(a)＝·＞0则S(a)在区间上单调递增，故S(a)在区间上的最小值为S＝，最大值为S＝.6．(2022·江苏，17)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．7\n(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.∴当a不超过6千米时可击中目标.7
