考点一 函数的实际应用1．(2022·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析 汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/小时的速度行驶10km，消耗1升汽油．故D正确．答案 D2．(2022·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.－1解析 设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.答案 D3.(2022·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]解析 设矩形另一边长为y，＝，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－8\nx)≥300，解得10≤x≤30，故选C.答案 C4．(2022·湖北，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝( )A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克解析 由题意M′(t)＝M02－ln2，M′(30)＝M02－1×ln2＝－10ln2，∴M0＝600，∴M(60)＝600×2－2＝150，故选D.答案 D5．(2022·四川，13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．解析 由题意∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝·eb＝×192＝24.答案 246.(2022·江苏，17)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，8\n故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．∴炮的最大射程为10千米．(2)∵a>0，∴炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.∴当a不超过6千米时，可击中目标．7．(2022·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解 (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y＝，得解得(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，8\ny′＝－，则l的方程为y－＝－(x－t)，由此得A，B.故f(t)＝＝，t∈[5，20]．②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.令g′(t)＝0，解得t＝10.当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．考点二 函数的综合应用1．(2022·辽宁，12)已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k恒成立，则k的最小值为( )A.B.C.D.解析 不妨令0≤y<x≤1，当0<x－y≤时，|f(x)－f(y)|<|x－y|≤；当<x－y≤1时，|f(x)－f(y)|＝|[f(x)－f(1)]－[f(y)－f(0)]|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<|x－1|＋|y－0|＝(1－x)＋y＝＋(y－x)<.综上，|f(x)－f(y)|<，所以k≥.答案 B8\n2．(2022·天津，8)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A.若⊆A，则实数a的取值范围是( )A.B.C.∪D.解析 a＝0时，A＝∅，不满足条件．a>0时，易知f(0)＝0，x>0时，f(x)＝x(1＋a|x|)>0，于是f(0＋a)>0＝f(0)，而由已知⊆A可得0∈A，即f(0＋a)<f(0)，所以a>0也不满足条件，故a<0.易知f(x)＝在坐标系中画出y＝f(x)与y＝f(x＋a)的图象如图所示，由图可知满足不等式f(x＋a)<f(x)的解集A＝(xA，xB)．由x(1－ax)＝(x＋a)[1－a(x＋a)]可得xA＝；由x(1＋ax)＝(x＋a)[1＋a(x＋a)]，可得xB＝－.∴A＝(a<0)．由⊆A得解得<a<0.故选A.答案 A3．(2022·新课标全国，12)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)8\n解析 由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex最小距离的2倍，设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与y＝x平行，有ex0＝1，x0＝ln2，y0＝1，∴切点到直线y＝x的距离d＝，所以|PQ|的最小值为(1－ln2)×2＝(1－ln2)．答案 B4．(2022·湖北，14)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)．例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数．(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析 过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线的方程为y－f(a)＝(x－a)，令y＝0得c＝.(1)令几何平均数＝⇒f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝(x>0)；(2)令调和平均数＝⇒＝，可取f(x)＝x(x>0)．答案 (1) (2)x5．(2022·山东，15)已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．解析 函数g(x)的定义域是[－2，2]，根据已知得＝f(x)，所以h(x)＝2f(x)－g(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>恒成立，8\n即3x＋b>恒成立，令y＝3x＋b，y＝，则只要直线y＝3x＋b在半圆x2＋y2＝4(y≥0)上方即可，由>2，解得b>2(舍去负值)，故实数b的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)6．(2022·新课标全国Ⅰ，21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解 (1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0，得x1＝－lnk，x2＝－2.(ⅰ)若1≤k<e2，则－2<x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0.即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x>－2时，F′(x)>0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅲ)若k>e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．8\n综上，k的取值范围是[1，e2].8
