考点一 抛物线的定义及其标准方程1．(2022·陕西，3)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )A．(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)解析 由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦点坐标为，故选B.答案 B2．(2022·新课标全国Ⅰ，10)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )A．1B．2C．4D．8解析 由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.答案 A3．(2022·四川，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )A．2B．2C.D．1解析 抛物线y2＝8x的焦点(2，0)到直线x－y＝0的距离是1.答案 D4．(2022·新课标全国Ⅰ，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )A．2B．2C．2D．4解析 利用|PF|＝xP＋＝4，可得xP＝3.∴yP＝±2.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝2.故选C.答案 C5．(2022·上海，4)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．12\n解析 ∵c2＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，∴＝2，即抛物线的准线方程为x＝－2.答案 x＝－26．(2022·湖南，14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．解析 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．由得ky2－4y＋4k＝0.当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)7．(2022·北京，9)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程为____________．解析 根据抛物线定义＝1，∴p＝2，又准线方程为x＝－＝－1，故填2，x＝－1.答案 2 x＝－18．(2022·陕西，14)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析 建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，由点(2，－2)在抛物线上，可得p＝1，则抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x＝±，所以水面宽2米．12\n答案 29．(2022·安徽，14)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________．解析 设直线AB的倾斜角为θ，则由|AF|＝3，p＝2，得cosθ＝，∴|BF|＝.答案 10．(2022·浙江，19)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解 (1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．由消去y，整理得：x2－4kx＋4kt＝0，由于直线PA与抛物线相切，得k＝t，因此，点A的坐标为(2t，t2)．设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，故解得因此，点B的坐标为.(2)由(1)知，|AP|＝t·和直线PA的方程tx－y－t2＝0，12\n点B到直线PA的距离是d＝，设△PAB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AP|·d＝.11．(2022·福建，21)已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．解 法一 (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，依题意，点S到F(0，1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等．所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2，设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝x，由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得A.12\n由得M.又N(0，3)，所以圆心C.半径r＝|MN|＝|x0＋|，|AB|＝＝＝.所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．法二 (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，则|y－(－3)|－＝2，依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y＞－3，所以＝y＋1，化简得，曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)同法一．12．(2022·广东，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．解 (1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy(c＞0)，则d＝＝，解得c＝1(负根舍去)．∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由x2＝4y，即y＝x2，得y′＝x.12\n∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x＋y1－x.∵y1＝x，∴y＝x－y1.∵点P(x0，y0)在切线PA上，∴y0＝x0－y1.①同理，y0＝x0－y2.②综合①②，得点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都满足方程y0＝x0－y.∵经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线是唯一的，∴直线AB的方程为y0＝x0－y，即x0x－2y－2y0＝0.(3)由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1＋y2＋y1y2＋1.联立消去x，得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，∴y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y.∵x0－y0－2＝0，∴|AF|·|BF|＝y－2y0＋x＋1＝y－2y0＋(y0＋2)2＋1＝2y＋2y0＋5＝2＋.∴当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值为.考点二 抛物线的性质1．(2022·新课标全国Ⅰ，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )A．3B．6C．9D．12解析 因为e＝＝，y2＝8x的焦点为(2，0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为＋＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.12\n答案 B2．(2022·新课标全国Ⅱ，10)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )A.B．6C．12D．7解析 抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y＝，将y＝代入y2＝3x，消去y整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，故选C.答案 C3．(2022·安徽，3)抛物线y＝x2的准线方程是( )A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2解析 由y＝x2得x2＝4y，焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.故选A.答案 A4．(2022·四川，10)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A．2B．3C.D.解析 如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m>0，n<0，则＝(m2，m)，＝(n2，n)，·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2，0)．S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则SAOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.12\n答案 B5．(2022·辽宁，8)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－B．－1C．－D．－解析 由点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2，0)，∴kAF＝＝－，故选C.答案 C6．(2022·四川，9)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )A．2B．2C．4D．2解析 由抛物线定义知，＋2＝3，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.因为点M(2，y0)在此抛物线上，所以y＝8，于是|OM|＝＝2.故选B.答案 B7．(2022·新课标全国，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A．18B．24C．36D．48解析 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则点F(，0)，令x＝，则y＝±6，即36＝p2，得p＝6，∴y2＝12x，∴点P到直线AB的距离为p＝6，∴S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.答案 C8．(2022·山东，9)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )A．(0，2)B．[0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析 根据抛物线的定义可知|FM|＝y0＋2，又由圆与准线相交可得y0＋2＞4，即y0＞2，故选C.12\n答案 C9．(2022·福建，19)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF|＝2＋.因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－.所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．法二 (1)同法一．(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．12\n由得2x2－5x＋2＝0.解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1，0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0.从而r＝＝.又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0.所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．10．(2022·浙江，22)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.(1)若||＝3，求点M的坐标；(2)求△ABP面积的最大值．解 (1)由题意知焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(2，2)或P(－2，2)．由＝3，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．由得x2－4kx－4m＝0.于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以AB中点M的坐标为(2k，2k2＋m)．由＝3，得(－x0，1－y0)＝3(2k，2k2＋m－1)，所以12\n由x＝4y0得k2＝－m＋.由Δ＞0，k2≥0，得－＜m≤.又因为|AB|＝4，点F(0，1)到直线AB的距离为d＝.所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|＝.记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1.令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，解得m1＝，m2＝1.可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．又f＝＞f.所以，当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±.所以，△ABP面积的最大值为.11．(2022·福建，20)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．解 (1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝，所以|MN|＝2＝2＝2.12\n(2)设C，则圆C的方程为＋(y－y0)2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0.由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ＞0.所以圆心C的坐标为或.从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.12
