【大高考】（三年模拟一年创新）2022届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文（全国通用）A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·巴蜀中学一模)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线C的渐近线交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝4x解析 ∵＝＝，∴a＝b，故双曲线的渐近线为y＝±x，因此可设A的坐标为(x0，x0)，则B的坐标为(x0，－x0)，S△AOB＝x0·2x0＝x＝4，则x0＝2或x0＝－2(舍)，将(2，2)代入y2＝2px，p＝1，故抛物线的方程为y2＝2x.答案 C2．(2022·吉林市摸底)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A．2B．2C．4D．4解析 根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，即点(－2，－1)在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，则p＝4，则抛物线的焦点为(2，0)；则双曲线的左顶点为(－2，0)，即a＝2；点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2.答案 B3．(2022·陕西高三质检一)已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )5\nA.B．3C.D．2解析 抛物线的准线方程为x＝－，由图知，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝|2＋3|－|2＋|＝，选C.答案 C二、填空题4．(2022·河南十所名校第三次联考)圆x2＋y2－2x＋my－2＝0关于抛物线x2＝4y的准线对称，则m＝________．解析 易知圆心坐标为，抛物线的准线方程为y＝－1，依题意有－＝－1，所以m＝2.答案 2一年创新演练5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是( )A．2±B．2＋C.±1D.－1解析 F，设P，Q(y1≠y2)．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，所以y＝y，又y1≠y2，所以y1＝－y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝＋＝2，解得p＝2±.答案 A6．给出下列四个命题：①若直线l过抛物线y＝2x2的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为1；②双曲线C：－＝－1的离心率为；③若⊙C1：x2＋y2＋2x＝0，⊙C2：x2＋y2＋2y－1＝0，则这两个圆恰有2条公切线；5\n④若直线l1：a2x－y＋6＝0与直线l2：4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直，则a＝－1.其中正确命题的序号是________．解析 ①不正确，直线l过抛物线y＝2x2(x2＝y)的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为2p＝；②正确，a＝3，c＝5，e＝＝；③正确，由于⊙C1：x2＋y2＋2x＝0，⊙C2：x2＋y2＋2y－1＝0相交，所以公切线有两条；④不正确，若直线l1：a2x－y＋6＝0与直线l2：4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直，则4a2＋a－3＝0，解得a＝－1或.答案 ②③B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7．(2022·忻州四校一联)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p＝( )A．2B．4C．6D．8解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4.答案 B8．(2022·北京西城区检测)设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l：x＝－1的距离为d，则有( )A．|AB|≥2dB．|AB|＝2dC．|AB|≤2dD．|AB|＜2d解析 设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2；d＝2.当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝4＝2d，当直线AB的斜率存在时，AB的直线方程为y＝k(x－1)，将其代入y2＝4x，整理得：k2x25\n－(2k2＋4)x＋k2＝0，x1＋x2＝＝2＋＞2，|AB|＞4＝2d，综上，|AB|≥2d.答案 A二、解答题9．(2022·山西忻州一中期中)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，过F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：△ABO与△MNO的面积之比为定值．(1)解 由焦点坐标为(1，0)可知＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明 当直线AB垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，所以＝＝；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，设M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消y并整理得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1·x2＝1.所以＝＝·＝·＝，综上，＝，即△ABO与△MNO的面积之比为定值．一年创新演练10．已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为( )A．±B．±C．±D．±5\n解析 ∵＝－4，∴||＝4||，设|BF|＝t，则|AF|＝4t，如图所示，点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1，过A作BB1的垂线，交线段B1B的延长线于点M，则|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝＝4t，∴tan∠ABM＝.由对称性可知，这样的直线AB有两条，其斜率为±.答案 D11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为________．解析 由抛物线的定义知1＋＝5，∴p＝8，故m＝4，又左顶点A为(－a，0)，M(1，4)，因此直线AM的斜率为k＝＝，解得a＝.答案 5
