考点一 椭圆的定义及其标准方程1．(2022·广东，8)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝( )A．2B．3C．4D．9解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.答案 B2．(2022·福建，11)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.解析 左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.离心率e＝＝＝＝∈，故选A.答案 A3．(2022·大纲全国，9)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析 由已知e＝＝，又△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋(|AF2|＋|BF2|)＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4，解得a＝，故c＝1，b＝＝，12\n故所求的椭圆方程为＋＝1，故选A.答案 A4．(2022·广东，9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析 由题意，得c＝1，e＝＝＝，所以a＝2，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.答案 D5．(2022·福建，11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.或B.或2C.或2D.或解析 依题意，设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t(t＞0)．若曲线是椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝6t，此时离心率e＝＝；若曲线是双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝2t，此时离心率e＝＝，故选A.答案 A6．(2022·新课标全国Ⅱ，20)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意得＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.12\n(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．7．(2022·四川，20)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．解 (1)由已知可得，＝，c＝2，所以a＝.又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．12\n所以解得m＝±1.此时，四边形OPTQ的面积SOPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|＝2＝2.8．(2022·安徽，21)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．解 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.9．(2022·新课标全国Ⅰ，21)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.12\n解 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2，若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1，2＝.所以|AB|＝|x2－x1|＝.当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝2或|AB|＝.10．(2022·湖南，21)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．解 (1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2，故圆C的圆心为点(2，0)．12\n从而可设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，其焦距为2c.由题设知c＝2，e＝＝.所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2.则l1，l2的方程分别为l1：y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2(x－x0)，且k1k2＝.由l1与圆C：(x－2)2＋y2＝2相切得＝，即[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k1＋y－2＝0.同理可得[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k2＋y－2＝0.从而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y－2＝0的两个实根，于是①且k1k2＝＝.由得5x－8x0－36＝0，解得x0＝－2或x0＝.由x0＝－2得y0＝±3；由x0＝得y0＝±，它们均满足①式．故点P的坐标为(－2，3)，或(－2，－3)，或或.考点二 椭圆的性质1．(2022·四川，9)从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.B.C.D.解析 由题意可得P(－c，)，A(a，0)，B(0，b)由AB∥OP，得－＝－，化简，得b＝12\nc，所以离心率e＝＝.答案 C2．(2022·新课标全国Ⅱ，5)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )A.B.C.D.解析 如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c.设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由tan30°＝＝＝，得x＝c.而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，∴a＝x＝c，∴e＝＝＝.答案 D3．(2022·辽宁，11)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( )A.B.C.D.解析 设椭圆的右焦点为F1，由余弦定理，得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|·cos∠ABF＝36，则有|AF|＝6，故∠AFB＝90°，由椭圆的对称性知四边形FAF1B为矩形，则有|BF|＋|BF1|＝8＋6＝14＝2a，即a＝7，|FF1|＝|AB|＝10＝2c，即c＝5，则C的离心率为e＝＝.答案 B4．(2022·江西，8)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.B.C.D.－212\n解析 因为A(－a，0)，B(a，0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，所以由|F1F2|2＝|AF1||F1B|，得4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，所以a2＝5c2，e＝＝.故选B.答案 B5．(2022·浙江，15)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．解析 设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标，kFQ＝，依题意解得又因为(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，令e＝，则4e6＋e2＝1，∴离心率e＝.答案 6．(2022·江西，14)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．解析 由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0<e<1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)．答案 7．(2022·福建，15)椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为12\n2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．解析 由于直线y＝(x＋c)经过焦点F1，且其斜倾角α＝60°，则∠MF1F2＝60°(∠MF1F2＝120°时，结合对应角度关系式，不合题意)．又∠MF1F2＝2∠MF2F1，即∠MF2F1＝30°，即MF1⊥MF2，则|MF1|＝c.由椭圆的定义知|MF2|＝2a－c，则有c2＋(2a－c)2＝4c2，整理有c2＋2ac－2a2＝0，两边都除以a2，整理有e2＋2e－2＝0，解得e＝－1(负值不合条件，舍去)．答案 －18．(2022·四川，15)椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．解析 当△FAB的周长取最大值时，AB过椭圆的右焦点，于是有4a＝12，a＝3，从而c2＝a2－5＝4，c＝2，所以e＝.答案 9．(2022·安徽，20)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.(1)解 由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)证明 由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝，又＝(－a，b)，从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．12\n由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以·＝0，故MN⊥AB.10．(2022·陕西，20)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解 由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝，从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.11．(2022·重庆，21)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．解 (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝12\n＝2，即c＝，从而b＝＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝＝|PF1|.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，解得|PF1|＝，故|PF2|＝2a－|PF1|＝.由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，从而＋＝4c2，两边除以4a2，得＋＝e2.若记t＝1＋λ＋，则上式变成e2＝＝8＋.由≤λ＜，并注意到1＋λ＋关于λ的单调性，得3≤t＜4，即＜≤.进而＜e2≤，即＜e≤.12．(2022·新课标全国Ⅱ，20)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.12\n(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解 (1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.12
