A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·武汉模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是( )A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析 ∵a＝4，e＝，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.答案 B2．(2022·青岛模拟)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A．3B．2C．2D.解析 根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3.长轴长为2＝2.答案 C3．(2022·嘉兴二模)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是( )A.B.C.∪D.∪6\n解析 椭圆的标准方程为x2＋＝1，当椭圆的焦点在x轴上时，可得m>；当椭圆的焦点在y轴上时，可得0<m<.答案 C4．(2022·临沂一模)设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为( )A．3B．2C．3D．2解析 由题意椭圆焦点在y轴上，可得m＝6，由圆锥曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2＝2，||PF1|－|PF2||＝2，两式平方作差得|PF1|·|PF2|＝3.答案 A二、填空题5．(2022·青岛模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________________．解析 抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.答案 ＋＝1一年创新演练6．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状( )A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆解析 由题意得到a>1，所以椭圆的离心率e2＝＝1＋(a>1)递减，则随着a的增大，离心率e越小，所以椭圆越接近于圆，故选A.答案 A6\nB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7．(2022·黄冈质检)F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析 不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝，由椭圆的定义得2a＝3，因此e＝＝＝.答案 A二、填空题8．(2022·枣庄模拟)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为________．解析 由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.答案 9．(2022·韶关调研)已知F1(－1，0)，F2(1，0)为椭圆＋＝1的两个焦点，若椭圆上一点P满足||＋||＝4，则椭圆的离心率e＝________.解析 由题意2a＝4，∴a＝2，又c＝1，∴e＝.答案 三、解答题10．(2022·徐州模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2＋＝0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；6\n(3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4，0)，求△PMN面积的最大值．解 (1)设Q(x0，0)．∵F2(c，0)，A(0，b)，则＝(－c，b)，＝(x0，－b)，又⊥，∴－cx0－b2＝0，故x0＝－，又2＋＝0，∴F1为F2Q的中点，故－2c＝－＋c，即b2＝3c2＝a2－c2，∴e＝＝.(2)∵e＝＝，∴a＝2c，b＝c，则F2＝(c，0)，Q(－3c，0)，A(0，c)．∴△AQF2的外接圆圆心为(－c，0)，半径r＝|F2Q|＝2c＝a.∴＝2c，解得c＝1，∴a＝2，b＝，椭圆方程为＋＝1.(3)设直线MN的方程为：x＝my＋1，代入＋＝1得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，|y1－y2|＝＝.∴S△PMN＝|PF2|·|y2－y1|＝，令＝λ≥，∴S△PMN＝＝≤＝，6\n∴△PMN面积的最大值为，此时m＝0.11．(2022·惠州调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；②已知点M，求证：·为定值．解 (1)＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，又＝，×b×2c＝，解得a2＝5，b2＝，则椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①将y＝k(x＋1)代入＋＝1，得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，∴Δ＝48k2＋20>0，x1＋x2＝－，∵AB中点的横坐标为－，∴－＝－1，解得k＝±.②证明 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，∴·＝·＝＋y1y2＝＋k2＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2＝(1＋k2)＋＋＋k2＝＋＋k2＝(定值)．6\n一年创新演练12.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解 (1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：＋＝1，C2：＋＝1，(a>b>0)，设直线l：x＝t(|t|<a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A，B，当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝＝＝.(2)t＝0时，l不符合题意，t≠0时，BO∥AN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即＝，解得t＝－＝－·a，因为|t|<a，又0<e<1，所以<1，解得<e<1，所以当0<e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；当<e<1时，存在直线l，使得BO∥AN.6
