A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·大兴区模拟)在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A等于( )A.B.C.D.或解析 因为b>a，有正弦定理得到sinA＝，∴A＝，故选B.答案 B2．(2022·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c＝4，B＝45°，面积S＝2，则b等于( )A.B．5C.D．25解析 ∵c＝4，B＝45°，又面积S＝acsinB＝×4×a＝2，解得a＝1，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝1＋32－2×4×＝25，∴b＝5.答案 B3．(2022·昆明一中模拟)△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析 由正弦定理，得sinB＝2sinCcosA，sinC＝2sinBcosA，即sin(A＋C)＝2sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，∴sin(A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，∴△ABC为等边三角形．答案 C4．(2022·乐陵一中模拟)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出两点的距离为( )6\nA．50mB．50mC．25mD.m解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，AB＝50(m)．答案 A二、填空题5．(2022·湖北荆州4月)在△ABC中，若a＝2，∠B＝60°，b＝，则BC边上的高等于________．解析 由余弦定理得7＝4＋c2－2×2c×，整理得c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去)．所以BC边上的高为csinB＝3×sin60°＝.答案 6．(2022·河南焦作4月)在钝角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，A＝30°，c＝，则△ABC的面积为________．解析 在钝角△ABC中，由a＝1，A＝30°，c＝，利用正弦定理可知C＝120°，得到B＝30°，利用面积公式得S△ABC＝××1×＝.答案 一年创新演练7．在△ABC中，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则c＝________.解析 已知a＝1，b＝，A＝30°，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得1＝3＋c2－3c，即c2－3c＋2＝0，因式分解得(c－1)(c－2)＝0，解得c＝1或c＝2，经检验都符合题意，所以c的值为1或2.答案 1或2B组 专项提升测试6\n三年模拟精选一、选择题8．(2022·浙江温州二模)在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为( )A．1B．3C．5D．9解析 设△ABC各边分别为a，b，c，则＝b·cosA＝1，同理，＝a·cosB＝2.由余弦定理可得解方程组得c＝3或0(舍)．故选B.答案 B二、填空题9．(2022·广东茂名模拟)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝3，C＝120°，△ABC的面积S＝，则c为________．解析 ∵a＝3，C＝120°，△ABC的面积S＝，∴＝absinC＝×3bsin120°，解得b＝5.由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49.解得c＝7.故答案为：7.答案 710．(2022·东北四校一模)如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长为______．解析 设∠BCD＝θ，则在△BCD中，S△BCD＝×2×2sinθ＝4，即sinθ＝，则cosθ＝±，BD2＝20＋4－8×＝16或32，即BD＝4或4.6\n①当BD＝4时，＝，即sinB＝，此时＝，即AC＝＝4；②当BD＝4时，＝，即sinB＝，此时＝，即AC＝＝2.综上，AC的长为4或2.答案 4或211．(2022·长春二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________．解析 因为4sin2－cos2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cosC－2cos2C＋1＝，cos2C－cosC＋＝0，解得cosC＝，则sinC＝.根据余弦定理有cosC＝＝，ab＝a2＋b2－7，3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，即ab＝6，所以S△ABC＝absinC＝×6×＝.答案 三、解答题12．(2022·甘肃模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB.(1)求cosB的值；6\n(2)若·＝2，且b＝2，求a和c的值．解 (1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，则2RsinBcosC＝6RsinAcosB－2RsinCcosB，故sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，可得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，即sin(B＋C)＝3sinAcosB，可得sinA＝3sinAcosB．又sinA≠0，因此cosB＝.(2)由·＝2，可得accosB＝2，又cosB＝，故ac＝6，由b2＝a2＋c2－2accosB，可得a2＋c2＝12，所以(a－c)2＝0，即a＝c，所以a＝c＝.13．(2022·安阳模拟)如图，角A为钝角，且sinA＝，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点．(1)若AP＝5，PQ＝3，求AQ的长；(2)设∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cosα＝，求sin(2α＋β)的值．解 (1)∵∠A是钝角，sinA＝，∴cosA＝－，在△AQP中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQcosA，∴AQ2＋8AQ－20＝0，解得AQ＝2或－10(舍去)，∴AQ＝2.(2)由cosα＝，得sinα＝.在△APQ中，α＋β＋A＝π，又sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sinA＝，6\ncos(α＋β)＝－cosA＝，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝×＋×＝.一年创新演练14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC·(tanAtanC－1)＝1.(1)求B的大小；(2)若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积．解 (1)由题意得2cosAcosC＝1，所以2(sinAsinC－cosAcosC)＝1，即－cos(A＋C)＝.所以cosB＝－cos(A＋C)＝.又0＜B＜π，所以B＝.(2)由余弦定理，得cosB＝＝.又a＋c＝，b＝，解得ac＝，由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsinB＝.6
