考点一 正弦、余弦定理的应用1．(2022·辽宁，6)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝( )A.B.C.D.解析 根据正弦定理得，sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，即sinAcosC＋sinCcosA＝，所以sin(A＋C)＝，即sinB＝，因为a＞b，∴B＝.选A.答案 A2．(2022·湖南，3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )A.B.C.D.解析 由＝，得sinA＝，又因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.答案 D3．(2022·天津，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )A.B.C.D.解析 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝，由正弦定理＝，得sinA＝＝＝.答案 C4．(2022·上海，16)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析 ∵sin2A＋sin2B＜sin2C，∴a2＋b2＜c2.则cosC＝＜0，∴C为钝角．答案 C11\n5．(2022·重庆，6)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )A.B．8－4C．1D.解析 ∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab.又∵C＝60°，由余弦定理有：cos60°＝，即a2＋b2－c2＝ab.∴4－2ab＝ab，则ab＝.答案 A6．(2022·福建，12)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．解析 S＝AB·AC·sinA，∴sinA＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7.答案 77．(2022·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________．解析 因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.答案 18．(2022·北京，12)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．解析 由余弦定理：cosA＝＝＝，∴sinA＝，cosC＝＝＝，∴sinC＝，11\n∴＝＝1.答案 19．(2022·重庆，13)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________．解析 由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos30°＝.答案 10．(2022·天津，12)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．解析 由已知及正弦定理，得2b＝3c，因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝＝－.答案 －11．(2022·江苏，14)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．解析 由正弦定理可得a＋b＝2c，又cosC＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，所以cosC的最小值是.答案 12．(2022·新课标全国Ⅰ，16)已知a，b，c，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．解析 因为a＝2，所以(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝＝＝，又0<A<π，故A＝，又cosA＝＝≥11\n，所以bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，由三角形面积公式知S△ABC＝bcsinA＝bc·＝bc≤，故△ABC面积的最大值为.答案 13．(2022·安徽，16)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．解 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3.又由正弦定理，得sinB＝＝＝，由题设知0<B<，所以cosB＝＝＝.在△ABD中，由正弦定理，得AD＝＝＝＝.14．(2022·江苏，15)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．解 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.(2)由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝＝＝.因此sin2C＝2sinC·cosC＝2××＝.15．(2022·湖南17)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围．11\n(1)证明 由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，所以sinB＝cosA，即sinB＝sin.又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.(2)解 由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈.于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2＋.因为0＜A＜，所以0＜sinA＜，因此＜－2＋≤.由此可知sinA＋sinC的取值范围是.16．(2022·辽宁，17)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解 (1)由·＝2得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因a＝b>c，所以C为锐角，11\n因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.考点二 解三角形及其应用1．(2022·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )A．5B.C．2D．1解析 S△ABC＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B.答案 B2．(2022·天津，6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )A.B.C.D.解析 设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝＝.又∵A为△ABC的内角，∴sinA＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴sinC＝·sinA＝·＝.答案 D11\n3．(2022·天津，13)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．解析 ∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.答案 84．(2022·山东，12)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．解析 根据平面向量数量积的概念得·＝||·||cosA，当A＝时，根据已知可得||·||＝，故△ABC的面积为||·||·sin＝.答案 5．(2022·福建，13)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．解析 cos∠BAD＝cos＝sin∠BAC＝.故在△ABD中，由余弦定理知：BD2＝BA2＋DA2－2BA·AD·cos∠BAD＝3，故BD＝.答案 6．(2022·上海，6)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．解析 ∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝＝，AC＝千米．答案 11\n7．(2022·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．解 (1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得＝＝.(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.8．(2022·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．解 (1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C.所以－cos2B＝sin2C.又由A＝，即B＋C＝π，得－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝，cosC＝，又因为sinB＝sin(A＋C)＝sin，11\n所以sinB＝，由正弦定理得c＝b，又因为A＝，bcsinA＝3，所以bc＝6，故b＝3.9．(2022·陕西，17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．解 (1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.法二 由正弦定理，得＝，从而sinB＝，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝，故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为S＝absinC＝.10．(2022·北京，15)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.11\n(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解 (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.11．(2022·陕西，16)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．(1)证明 ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)解 ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为.12．(2022·安徽，16)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；11\n(2)求sin的值．解 (1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理得a＝2b·.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－.由于0<A<π，所以sinA＝＝＝.故sin＝sinAcos＋cosAsin＝×＋×＝.13．(2022·北京，15)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．解 (1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.所以＝.故cosA＝.(2)由(1)知，cosA＝，所以sinA＝＝.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.所以sinB＝＝.在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.11
