【大高考】（三年模拟一年创新）2022届高考数学复习第四章第四节解三角形文（全国通用）A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1．(2022·湛江市调研)在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA＝－，B＝，b＝1，则a＝( )A.B.C.D.解析 由题意得，0＜A＜π，sinA＞0，故sinA＝＝.由正弦定理知，＝⇒a＝sinA×＝×＝.答案 A2．(2022·常德市期末统考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝9，b＝6，A＝60°，则sinB＝( )A．－B.C.D．－解析 由正弦定理：＝得：sinB＝.答案 C3．(2022·山东省实验中学三诊)在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析 ∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC可整理为6\nsin2BsinAcosB＝sin2AcosAsinB，∵A，B为△ABC内角，∴sinA≠0，sinB≠0，故sin2A＝sin2B，即2A＝2B或2A＝180°－2B，即A＝B或A＋B＝90°.答案 D4．(2022·四川成都模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，则cosAcosC等于( )A.B.C．－D．－解析 依题意得a2＋c2－b2＝ac，cosB＝＝＝.又0°＜B＜180°，所以B＝60°，C＋A＝120°，又C－A＝90°，所以C＝90°＋A，A＝15°，cosAcosC＝cosAcos(90°＋A)＝－sin2A＝－sin30°＝－，选C.答案 C5．(2022·广东佛山调研)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为( )A．50mB．50mC．25mD.m解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，AB＝50(m)．答案 A6\n一年创新演练6.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出四种测量方案，(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a；④测量a，b，B，则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④解析 选项①，在△ABC中，B＝π－(A＋C)，所以sinB＝sin(A＋C)，由正弦定理得＝，所以c＝；选项②，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c＝；选项③，在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)，由正弦定理得＝，所以c＝；选项④，用余弦定理cosB＝解得的c，可能有两个值．答案 A7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________．解析 因为4sin2－cos2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cosC－2cos2C＋1＝，cos2C－cosC＋＝0，解得cosC＝.根据余弦定理有cosC＝＝，ab＝a2＋b2－7，3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝ab·sinC＝×6×＝.答案 B组 专项提升测试6\n三年模拟精选一、选择题8．(2022·济南一中检测)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，lgb＋lg＝lgsinA＝－lg，则△ABC为( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析 由lgb＋lg＝lg＝－lg＝lg，得＝即c＝b，由lgsinA＝－lg，sinA＝，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA得a＝b，故B＝A＝45°，因此C＝90°.答案 D9．(2022·湖南十二校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanA＝7tanB，＝3，则c＝( )A．4B．3C．7D．6解析 由tanA＝7tanB可得＝，即sinAcosB＝7sinBcosA，所以sinAcosB＋sinBcosA＝8sinAcosA，即sin(A＋B)＝sinC＝8sinBcosA，由正、余弦定理可得c＝8b·，即c2＝4b2＋4c2－4a2，又＝3，所以c2＝4c，即c＝4.故选A.答案 A二、解答题10．(2022·广东茂名一模)如图，角A为钝角，且sinA＝，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点．(1)若AP＝5，PQ＝3，求AQ的长；(2)设∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cosα＝，求sin(2α＋β)的值．解 (1)∵∠A是钝角，sinA＝，∴cosA＝－，6\n在△AQP中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQcosA，∴AQ2＋8AQ－20＝0，解得AQ＝2或－10(舍去)，∴AQ＝2.(2)由cosα＝，得sinα＝.在△APQ中，α＋β＋A＝π，又sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sinA＝，cos(α＋β)＝－cosA＝，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝×＋×＝.11．(2022·济南一中检测)在△ABC中，已知(sinA＋sinB＋sinC)·(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC.(1)求角A的值；(2)求sinB－cosC的最大值．解 (1)∵(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC，由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)由A＝，得B＋C＝，∴sinB－cosC＝sinB－cos＝sinB－6\n＝sin，∵0＜B＜，∴＜B＋＜，当B＋＝，即B＝时，sinB－cosC的最大值为1.一年创新演练12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值是( )A．8B．6C．3D．4解析 ＋＝，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA＝①，而条件中“高”容易联想到面积，a·a＝bcsinA，即a2＝2bcsinA②，将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＋＝2(cosA＋sinA)＝4sin，当A＝时取得最大值4.答案 D13．在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________．解析 在△ABC中，设BC＝a，AB＝c，AC＝b，又BC＝2，A＝，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋c2＋bc＝4≥3bc，bc≤(当且仅当b＝c时取等号).·＝bccosA＝－bc≥－×＝－.答案 －6
