第四节 数列求和、数列的综合应用A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·青岛模拟)已知Sn＝＋＋＋…＋，若Sm＝10，则m＝( )A.11B.99C.120D.121解析 ∵Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.∴Sm＝－1＝10，得m＝120.答案 C2.(2022·重庆模拟)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和Sn为( )A.B.C.D.解析 ∵an＝＝＝，∴bn＝＝＝4.故Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝4＝.答案 B3.(2022·广东肇庆模拟)已知正项数列{an}为等比数列且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.B.31C.D.以上都不正确解析 设公比为q，由题意得10a2＝a4＋3a3，则20＝2q2＋3×2q，q2＋3q－10＝0，5\n又q＞0，∴q＝2.又a2＝2，∴a1＝1，S5＝＝31，故选B.答案 B4.(2022·湖南益阳模拟)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为( )A.1－B.1－C.D.解析 an＝2n－1，设bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝.答案 C一年创新演练5.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________.解析 令x＝1，y＝n，得f(1)·f(n)＝f(n＋1)，即：an＝an＋1，＝，故an＝，Sn＝＝1－∈.答案 6.已知数列{an}，{cn}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，cn＝.设数列{cn}的前n项和为Tn，若存在m使得Tn>对任意的n∈N*都成立，则正整数m的最小值为________.解析 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∵a1＝1，a1＋1＝2≠0，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1，又cn＝＝5\n，∴Tn＝＝＝＝.则＝·＝＝1＋>1，又Tn>0，∴Tn＜Tn＋1，n∈N*，即数列{Tn}是递增数列.∴当n＝1时，Tn取得最小值，要使得Tn>对任意n∈N*都成立，只需>，由此得m>4.∴正整数m的最小值是5.答案 5B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·衡水中学二调)已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则{yn}的前9项和为( )A.0B.－9C.9D.1解析 ∵数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*.∴数列{an}是等差数列，a5＝，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝π，∵f(x)＝sin2x＋2cos2＝sin2x＋cosx＋1，∴f(a1)＋f(a9)＝sin2a1＋cosa1＋1＋sin2a9＋cosa9＋1＝sin(2π－2a9)＋cos(π－a9)＋1＋sin2a9＋cosa9＋1＝sin(－2a9)－cosa9＋1＋sin2a9＋cosa9＋1＝2，同理f(a2)＋f(a8)＝f(a3)＋f(a7)＝f(a4)＋f(a6)＝2.又∵f(a5)＝1，∴数列{yn}的前9项和为9.故选C.答案 C8.(2022·济南二模)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014＝( )5\nA.1006B.1007C.1008D.1009解析 由an＋1－an＝sin得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝0＋1＝1，∴a5＝a1，如此继续可得an＋4＝an(n∈N*)，即数列{an}是一个以4为周期的周期数列，又2014＝4×503＋2，所以S2014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008，故选C.答案 C二、填空题9.(2022·武汉调研试题)等比数列{an}中，q＝2，前n项和为Sn，则＝________.解析 设{an}的首项为a1，则＝＝5.答案 5三、解答题10.(2022·广东重点中学联考)已知数列{an}，{bn}，其中a1＝，数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝2bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋＋＋…＋＜恒成立？若存在，求出m的最小值.解 (1)因为Sn＝n2an(n∈N*)，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1.所以an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1.所以(n＋1)an＝(n－1)an－1.即＝.又a1＝，所以an＝···…···a1＝···…···＝.当n＝1时，上式成立.因为b1＝2，bn＋1＝2bn，所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn＝2n.5\n(2)由(1)知，bn＝2n.则1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－.假如存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋＋＋…＋＜恒成立，即2－＜恒成立.由≥2，解得m≥16.所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋＋＋…＋＜恒成立.此时m的最小值为16.一年创新演练11.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值为________.解析 由y′＝(n＋1)xn(x∈N*)，所以在点(1，1)处的切线斜率k＝n＋1，故切线方程为y＝(n＋1)·(x－1)＋1，令y＝0得xn＝，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝lgx1＋lgx2＋…＋lgx99＝lg(x1·x2·…·x99)＝lg＝lg＝－2.答案 －212.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1007＞0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2012)＋f(a2013)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析 ∵{an}是等差数列，∴a1＋a2013＝a2＋a2012＝…＝2a1007＞0，得a1＞－a2013，a2＞－a2012，…，又f(x)是定义在R上的单调增函数，且f(－x)＝－f(x)，∴f(a1)＞－f(a2013)，即f(a1)＋f(a2013)＞0，同理，f(a2)＋f(a2012)＞0，…，∴f(a1)＋f(a2)＋…f(a2012)＋f(a2013)的值恒为正数，故选A.答案 A5
