第二节 等差数列及其前n项和A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·黄冈中学检测)已知{an}是等差数列,a1+a7=-2,a3=2,则{an}的公差d=( )A.-1B.-2C.-3D.-4解析 a1+a7=a3-2d+a3+4d=2a3+2d=-2,得d=-3.答案 C2.(2022·惠州市三调)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于( )A.1B.C.-2D.3解析 ∵a1=4,S3=6,∴S3=4×3+d=6,得d=-2.答案 C3.(2022·长春调研)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若S4=20,S6-S2=36,则该等差数列的公差d=( )A.-2B.2C.-4D.4解析 由题意,a1+a2+a3+a4=20,a3+a4+a5+a6=36,作差可得8d=16,即d=2.答案 B4.(2022·河南安阳三模)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a10=S4,则等于( )A.4B.5C.8D.10解析 由a10=S4得a1+9d=4a1+d=4a1+6d,即a1=d≠0.∴S8=8a1+d=8a1+28d=36d,∴===4.答案 A5\n一年创新演练5.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,若S21=S4000,O为坐标原点,点P(1,an),Q(2011,a2011),则·等于( )A.2011B.-2011C.0D.1解析 设等差数列{an}的公差为d,因为S21=S4000,且等差数列前n项和公式可看成二次函数,所以由对称性可得S1=S4020,则有a1=4020a1+d,整理得a2011=0,所以·=2011+an·a2011=2011.答案 A6.已知an=,把数列{an}的各项排列成如下的三角形形状,记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=( )a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9……A.B.C.D.解析 记每一行的数的个数组成数列{bn},则{bn}为首项b1=1,公差d=2的等差数列,所以前9行共有=81个数,所以第10行的第1个数是a82,第10行的第12个数为a93=.故选A.答案 AB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·济南一中高三期中)等差数列{an}中,已知a1=-12,S13=0,使得an>0的最小正整数n为( )A.7B.8C.9D.10解析 法一 S13==0,a13=-a1=12,d==2,故an=a1+(n-1)d5\n=2n-14,解an>0,得n>7,故使an>0的最小正整数n为8.法二 S13==13a7=0,得a7=0,故a8>0,故an>0的最小正整数为n=8.答案 B8.(2022·巴蜀中学一模)在等差数列{an}中,an>0,且a1+a2+a3+…+a8=40,则a4·a5的最大值是( )A.5B.10C.25D.50解析 由a1+a2+a3+…+a8=40得4(a4+a5)=40,即a4+a5=10,a4+a5≥2,得:a4·a5≤25,故a4·a5的最大值为25.答案 C9.(2022·河南中原名校联考(一))已知等差数列{an}满足a1>0,5a8=8a13,则前n项和Sn取最大值时,n的值为( )A.20B.21C.22D.23解析 由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-a1,由an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)≥0,得n≤=21,∴数列{an}前21项都是正数,以后各项都是负数,故Sn取最大值时,n的值为21.答案 B二、解答题10.(2022·山东德州模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an·3an}的前n项和.解 (1)设数列{an}的公差为d(d≠0).由条件可知:(2+3d)2=(2+d)·(2+7d),解得d=2.由数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).5\n(2)由(1)知an·3an=2n×32n,设数列{an·3an}的前n项和为Sn,则Sn=2×32+4×34+6×36+…+2n×32n,32Sn=2×34+4×36+…+(2n-2)×32n+2n×32n+2,故-8Sn=2(32+34+36+…+32n)-2n×32n+2,所以Sn=.所以数列{an·3an}的前n项和Sn=.一年创新演练11.已知函数f(x)=cosx,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m等于( )A.B.-C.D.-解析 若m>0,则公差d=-=π,显然不成立,所以m<0,则公差d==.所以m=cos=-,故选D.答案 D12.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a63=18,若aij=2012,则i+j等于( )12 43 5 76 8 10 125\n9 11 13 15 1714 16 18 20 22 24…A.75B.76C.77D.78解析 观察此三角形数表可得到以下信息:(1)奇数行中都是奇数,偶数行中都是偶数;(2)第一行有1个数,第二行有2个数,第三行有3个数,依此类推,第2n行有2n个数;(3)单看偶数行,第2行、第4行共有6个数,而第4行最后一个数为12=6×2,第2行、第4行、第6行共12个数,而第6行最后一个数为24=12×2,依此类推,前2n(n∈N*)行(包括第2n行)共有2+4+6+…+2n==n2+n个偶数,第2n行的最后一个数为2n2+2n,当n=32时,2n2+2n=2112,故2012应在第64行,又=50,所以2012应在第64行从左往右数第64-50=14个数,所以i+j=64+14=78.选D.答案 D5