第二节 等差数列及其前n项和考点一 等差数列的概念及性质1.(2022·重庆，2)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )A.5B.8C.10D.14解析 由等差数列的性质得a1＋a7＝a3＋a5，因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B.答案 B2.(2022·重庆，1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝( )A.12B.14C.16D.18解析 设an＝a1＋(n－1)d，则由解得所以a10＝a1＋9d＝18.故选D.答案 D3.(2022·安徽，13)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________.解析 由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列.∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.答案 274.(2022·陕西，13)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________解析 由题意设首项为a1，则a1＋2015＝2×1010＝2020，∴a1＝5.答案 55.(2022·上海，1)在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝________.解析 a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30，a2＋a3＝15.答案 156.(2022·重庆，12)若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________.解析 设公差为d，则d＝＝，所以c－a＝2d＝.答案 8\n7.(2022·北京，10)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________.解析 设公差为d，则由a1＝，S2＝a3，得d＝，a2＝1，所以Sn＝na1＋·d＝n＋＝.故填1，.答案 1 8.(2022·大纲全国，17)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式.(1)证明 由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解 由(1)得bn＝1＋2(n－1)，即an＋1－an＝2n－1.于是(ak＋1－ak)=(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.9.(2022·浙江，19)已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解 (1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d＞0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*).(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)·(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.8\n由m，k∈N*知2m＋k－1＞k＋1＞1，故所以10.(2022·新课标全国Ⅰ，17)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和.解 (1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知可得解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知＝＝(－)，从而数列{}的前n项和为＝.11.(2022·大纲全国，17)等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由得解得a1＝1，d＝.∴{an}的通项公式为an＝.(2)∵bn＝＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝.12.(2022·浙江，19)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列.(1)求d，an；8\n(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解 (1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4，∴an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，∵d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110，综上所述：|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝考点二 等差数列的前n项和1.(2022·新课标全国Ⅰ，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10＝( )A.B.C.10D.12解析 由S8＝4S4知，a5＋a6＋a7＋a8＝3(a1＋a2＋a3＋a4)，又d＝1，∴a1＝，a10＝＋9×1＝.答案 B2.(2022·新课标全国Ⅱ，5)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )A.5B.7C.9D.11解析 ∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5.故选A.答案 A3.(2022·天津，5)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )8\nA.2B.－2C.D.－解析 由S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6成等比数列可得(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.答案 D4.(2022·新课标全国Ⅱ，5)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )A.n(n＋1)B.n(n－1)C.D.解析 因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋d＝n(n＋1).故选A.答案 A5.(2022·安徽，7)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于( )A.－6B.－4C.－2D.2解析 由S8＝4a3知：a1＋a8＝a3，a8＝a3－a1＝2d＝a7＋d，所以a7＝d＝－2.所以a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.答案 A6.(2022·福建，11)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于( )A.1006B.2012C.503D.0解析 T＝＝4，且cos＋2cosπ＋3cos＋4cos2π＝2，所以S2012＝×2＝1006.故选A.答案 A7.(2022·大纲全国，6)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k等于( )A.8B.7C.6D.5解析 ∵Sk＋2－Sk＝24，∴ak＋1＋ak＋2＝24，∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)·d＝24，∴2a1＋(2k＋1)d＝24，∴2×1＋(2k＋1)×2＝24.解得k＝5.8\n答案 D8.(2022·江西，13)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________.解析 由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得即解得－1<d<－.答案 9.(2022·天津，11)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________.解析 由16＝a3＝a1＋2d，20＝S20＝20a1＋d，即a1＋d＝1，解得a1＝20，d＝－2，所以S10＝10a1＋d＝200－90＝110，故填110.答案 11010.(2022·重庆，16)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和.(1)求an及Sn；(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.解 (1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2.(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，从而q＝4.又因b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1).11.(2022·新课标全国Ⅱ，17)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式；8\n(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解 (1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d).于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列.从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.12.(2022·福建，17)已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5＞a1a9，求a1的取值范围.解 (1)∵数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，∴a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)∵数列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，∴5a1＋10＞a＋8a1，即a＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2，故a1的取值范围为(－5，2).13.(2022·福建，17)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.解 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，依题意得S10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2.8\n所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4).符合题意的基本事件有2个：(1，1)，(2，2)，故所求的概率P＝.8
