第五节 推理与证明A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·吉林四校调研)设a、b、c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数( )A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析 利用反证法证明.假设三个数都小于2，则a＋＋b＋＋c＋＜6，而a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾.故选D.答案 D2.(2022·山东青岛模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示A*D，A*C的分别是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)解析 由A*B，B*C知，B是大正方形，A是|，C是—，由C*D知，D是小正方形，∴A*D为小正方形中有竖线，即(2)正确，A*C为＋，即(4)正确.故选C.答案 C3.(2022·广东佛山调研)设a、b、c、d∈R＋，若a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，则有( )A.ad＝bcB.ad＜bcC.ad＞bcD.ad≤bc解析 |a－d|＜|b－c|⇔(a－d)2＜(b－c)2⇔a2＋d2－2ad＜b2＋c2－2bc，又∵a＋d＝b＋c⇔(a＋d)2＝(b＋c)26\n⇔a2＋d2＋2ad＝b2＋c2＋2bc，∴－4ad＜－4bc，∴ad＞bc，故选C.答案 C4.(2022·广州模拟)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )A.dn＝B.dn＝C.dn＝D.dn＝解析 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.答案 D二、填空题5.(2022·四川资阳模拟)观察下列等式1＝13＋5＝85＋7＋9＝217＋9＋11＋13＝409＋11＋13＋15＋17＝65按此规律，第12个等式的右边等于________.解析 从题中可找出规律：第n个等式左边的式子是首项为2n－1的连续n个奇数之和，所以第12个等式右边＝左边＝23＋25＋…＋45＝＝408.答案 4086\n一年创新演练6.半径为r的圆的面积S(r)＝π·r2，周长C(r)＝2π·r，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(π·r2)′＝2π·r①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________________________________________________，此式可用语言叙述为___________________________________________________.解析 根据类比推理可得结论.答案 ′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数7.设{an}是集合{2s＋2t|0≤s<t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，……，将数列{an}各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12……则a99等于( )A.8320B.16512C.16640D.8848解析 用(s，t)表示2s＋2t，则三角形数表可表示为第一行3(0，1)第二行5(0，2) 6(1，2)第三行9(0，3) 10(1，3) 12(2，3)第四行17(0，4) 18(1，4) 20(2，4) 24(3，4)第五行33(0，5) 34(1，5) 36(2，5) 40(3，5) 48(4，5)……因为99＝(1＋2＋3＋4＋…＋13)＋8，所以a99＝(7，14)＝27＋214＝16512，故选B.答案 BB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8.(2022·河南六市联考)给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )6\nA.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①错误；对于②，其假设正确.答案 D9.(2022·长春二模)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，……，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A.6B.7C.8D.9解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，……，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1).设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层.答案 C10.(2022·辽宁大连检测)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b).若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝，用类比的方法，推想出下面问题的结果.在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是( )A.S0＝B.S0＝6\nC.＝D.＝解析 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质.故由EF＝类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的关系是＝.答案 C二、解答题11.(2022·洛阳统考)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解 由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋).(2)证明 由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.即(q＋)2＝(p＋)(r＋).∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴∴＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r.与p≠r矛盾.∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.一年创新演练12.已知cos＝；coscos＝；6\ncoscoscos＝；…根据以上等式，可猜想出的一般结论是____________________________________.解析 观察所给等式，左侧项数依次递增，角的分母是奇数列，右侧分母是2n，故可猜想出一般结论为cos·cos…cos＝，n∈N*.答案 coscos…cos＝，n∈N*13.在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为______________________________________________.解析 在立体几何中一般面积类比体积，边类比面.观察比例式＝的特点，右侧为△ABC的角C的内角平分线CE两邻边之比，在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB，因此＝.答案 ＝6
