【高考领航】2022高考数学总复习6-1不等关系与不等式练习苏教版【A组】一、填空题1．下列不等式：①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m；其中正确的有________个．解析：显然①②正确，对③，m≤0时不成立，对④，m≤0时不成立．答案：22．如果a＞b，则下列各式正确的是________．①a·lgx＞b·lgx(x＞0) ②ax2＞bx2③a2＞b2 ④a·2x＞b·2x解析：当lgx≤0时①错，当x＝0时②错，当0＞a＞b时a2＜b2，③错，只有④正确．答案：④3．(2022·北京西城期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为________．解析：由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数；∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴>，∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0，∴>－，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．答案：①②③4．若不等式[(1－a)n－a]lga＜0对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：依题意知或∴或对任意正整数n恒成立，∴0＜a＜或a＞1.答案：5．设x，y为实数，满足2≤xy2≤6,1≤≤3，则的最大值是________．7\n解析：由已知条件知2∈[1,9]，∈，＝2·∈，所以的最大值是.答案：6．某高校在2022年9月初共有m名在校学生，其中有n名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例__________(选填“变大”、“变小”或“不变”)，其理论依据用数学形式表达为________________________．解析：利用表格分析：补录前补录后新生人数nn＋b总体人数mm＋b新生比例大小关系＜限定条件m＞n＞0，b＞0答案：变大 若m＞n＞0，b＞0，则＜7．给出下列四个命题：①若a＜b，则a2＜b2；②若a≥b＞－1，则≥；③若正整数m和n满足：m＜n，则≤；④若x＞0，且x≠1，则lnx＋≥2.其中真命题的序号是________．(请把真命题的序号都填上)解析：对于①，a＝－2＜b＝－1，a2＞b2，故①错．对于④，lnx不一定为正数，0＜x＜1时，lnx＋≤－2.x＞1时，lnx＋≥2，故④错．答案：②③二、解答题8．(1)已知12＜a＜60,15＜b＜36，求a－b，的取值范围；(2)已知一次函数f(x)＝ax＋b满足－1＜f(1)＜3且2＜f(2)＜5，求f(3)的范围．解：(1)12＜a＜60，①7\n－36＜－b＜－15，②①＋②得：－24＜a－b＜45.又∵＜＜，③①×③得：＜＜4.(2)令f(3)＝pf(1)＋qf(2)．解得p＝－1，q＝2，则－3＜－f(1)＜1,4＜2f(2)＜10，∴1＜f(3)＜11.9．若实数x、y、m满足|x－m|<|y－m|，则称x比y接近m.(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.(3)已知函数f(x)的定义域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)．解：(1)由题意得|x2－1－0|<|3－0|，即|x2－1|<3，解得－2<x<2.(2)证明：∵a>0，b>0，且a≠b，∴a2b＋ab2>2ab，a3＋b3>2ab.∴a2b＋ab2－2ab>0，a3＋b3－2ab>0.∴|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)2＋b2(a－b)＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)<0.∴|a2b＋ab2－2ab|<|a3＋b3－2ab|，∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.(3)∵x≠kπ，k∈Z，∴sinx≠0.若sinx<0，即当2kπ－π<x<2kπ，k∈Z时，1＋sinx<1－sinx，此时f(x)＝1＋sinx.若sinx>0，即当2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z时，1－sinx<1＋sinx，此时f(x)＝1－sinx.画出f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)为偶函数，最小正周期为π，最小值为0，单调增区间为，k∈Z，单调减区间为，k∈Z.7\n【B组】一、填空题1．(2022·江南十校联考)已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：①a>b>1，②0<b<a<1，③b>a>1，④0<a<b<1，⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．解析：本题可采用数形结合的方法解答．如图，在同一坐标系内分别作出y1＝logx，y2＝logx的图象C1，C2，与直线y＝m(m＞0)，y＝n(n＜0)，y＝0相交，相应的a，b取值情况依次为0＜b＜a＜1，b＞a＞1，a＝b＝1，故5个关系式中不可能成立的有2个．注意审题，易误认为求成立的个数．答案：①④2．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是________．解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∵1＋a2－a＝2＋＞0，∴1＋a2＞a，∴b＝1＋a2＞a，∴c≥b＞a.答案：c≥b＞a3．(2022·江苏连云港模拟)给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中，能推出logb＜loga＜logab成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．解析：∵logb＝－1，7\n若1＜a＜b，则＜＜1＜b，∴loga＜loga＝－1，故条件①不可以；若0＜a＜b＜1，b＜1＜＜，∴logab＞loga＞loga＝－1＝logb，故条件②可以；若0＜a＜1＜b，则＜b，∴loga>logab，故条件③不可以．答案：②4．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列不等式中恒成立的是________(填序号)．①＞ ②＞0 ③＞ ④＜0解析：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴a＞0，c＜0.由b＞c，a＞0，即＞0，可得＞，故①式恒成立．∵b＜a，∴b－a＜0.又c＜0，∴＞0，故②式恒成立．又∵c＜a，∴a－c＞0.而ac＜0，∴＜0，故④式恒成立．当b＝－2，a＝1时，b2＞a2，而c＜0，∴＜，故③式不恒成立．答案：①②④5．已知b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添加m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，试根据这个事实，写出a，b，m所满足的不等式为________．解析：原来糖水的浓度为×100%，加入m克糖后，现在糖水的浓度为×100%，现在的浓度一定大于原来的浓度．7\n答案：＜6．设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．解析：设＝(xy2)mn＝xm＋2ny2m－n，由此，得m＋2n＝3,2m－n＝－4，解得m＝－1，n＝2，所以＝(xy2)－12.根据不等式的性质(xy2)－1≤，2≤81，再根据不等式的性质(xy2)－12≤×81＝27.故所求的最大值是27.答案：277．对于任意x∈[1,2]，都有(ax＋1)2≤4成立，则实数a的取值范围为________．解析：∵(ax＋1)2≤4∴－2≤ax＋1≤2∴－≤a≤∵x∈[1,2]∴－3≤a≤1答案：－3≤a≤1二、解答题8．若a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b.证明：＋a≥2b，＋b≥2a，∴＋＋a＋b≥2a＋2b，∴＋≥a＋b.9．已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R且α＋β＞0，β＋γ＞0，γ＋α＞0.试说明f(α)＋f(β)＋f(γ)的值的与0的关系．解：由α＋β＞0，得α＞－β.∵f(x)在R上是单调减函数，∴f(α)＜f(－β)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－β)＝－f(β)．∴f(α)＜－f(β)．∴f(α)＋f(β)＜0.同理f(β)＋f(γ)＜0，f(γ)＋f(α)＜0.7\n∴f(α)＋f(β)＋f(γ)＜0.7
