【高考领航】2022高考数学总复习6-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考辽宁卷)设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为________．解析：画出可行域如图：设z＝2x＋3y，最优解为A(5,15)．代入得z＝2×5＋3×15＝55.答案：552．(2022·高考四川卷)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋4y的最大值是________．答案：283．(2022·高考四川卷)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝________.解析：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4900元．8\n答案：4900元4．(2022·高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组则3x＋4y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图所示，根据目标函数z＝3x＋4y的几何意义容易求得，当x＝3，y＝1时，z有最小值13.答案：135．(2022·高考课标全国卷)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为________．解析：根据得可行域如图所示：根据z＝x＋2y得y＝－＋，平移直线y＝－，在M点处z取得最小值．根据得此时z＝4＋2×(－5)＝－6.答案：－66．(2022·陕西卷)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．解析：设目标函数为z＝2x－y，借助平移，显然点(1,1)满足题意，则2x－y的最小值为1.答案：17．(2022·浙江卷)设z＝x＋2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是________．解析：画出可行域如图，由z＝x＋2y，得y＝－x＋，8\n则的几何意义是直线y＝－x＋在y轴上的截距，当直线过点O及直线x－y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点A时，z分别取得最小值0和最大值，故z的取值范围是.答案：二、解答题8．已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围．解：依据约束条件，画出可行域．∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，目标函数z＝ax＋y(a>0)对应直线的斜率k2＝－a，若符合题意，则需k1>k2，即－>－a，得a>.9．某公司计划2022年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所示的平面区域．即可行域，如图所示，8\n作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值．联立解得x＝100，y＝200.∴点M的坐标为(100,200)．∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．【B组】一、填空题1．(2022·高考大纲全国卷)若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．解析：由线性约束条件画出可行域(如图所示)．当直线3x－y－z＝0经过点A(0,1)时，目标函数z＝3x－y取得最小值zmin＝3×0－1＝－1.答案：－12．(2022·高考湖北卷)若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值是________．解析：画出可行域如图．最优解A(1,0)，∴z＝2x＋3y的最小值zmin＝2×1＋3×0＝2.8\n答案：23．(2022·江苏名校联考)已知x，y满足记目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为________．解析：由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7和直线x＋y＝4的交点，经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴∴b＝－1，c＝－2.答案：－1，－24．(2022·山东烟台模拟)已知A(3，)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足设Z为在上的投影，则Z的取值范围是________．解析：约束条件所表示的平面区域如图.在上的投影为||cosθ＝2cosθ(θ为与的夹角)，∵∠xOA＝30°，∠xOB＝60°，∴θ∈[30°，150°]，∴2cosθ∈[－3,3]．答案：[－3,3]5．(2022·苏州部分重点中学质检)已知实数x，y满足若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.答案：16．(2022·盐城模拟)设λ＞0，不等式组所表示的平面区域是W.给出下列三个结论：①当λ＝1时，W的面积为3；②∃λ＞0，使W是直角三角形区域；8\n③设点P(x，y)，∀P∈W有x＋≤4.其中，所有正确结论的序号是________．解析：当λ＝1时，不等式组变成其表示以点(0,0)，(2,2)，(2，－1)为顶点的三角形区域，易得W的面积为3，①正确；∵直线λx－y＝0的斜率为λ，直线x＋2λy＝0的斜率为－，λ×＝－≠－1，且直线x＝2垂直于x轴，∴W不可能成为直角三角形区域，②错误；显然，不等式组表示的区域是以点(0,0)，(2,2λ)，为顶点的三角形区域，令z＝x＋，则其在三个点处的值依次为：0,4,2－，∴z＝x＋的最大值zmax＝4，③正确．答案：①③7．(2022·连云港二模)已知点Q(5,4)，动点P(x，y)满足则|PQ|的最小值为________．解析：不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB的方程为x＋y－2＝0，过Q点且与直线AB垂直的直线为y－4＝x－5，即x－y－1＝0，其与直线x＋y－2＝0的交点为，而B(1,1)，A(0,2)，因为＞1，所以点Q在直线x＋y－2＝0上的射影不在线段AB上，则|PQ|的最小值即为点Q到点B的距离，故|PQ|min＝＝5.答案：5二、解答题8．实数x、y满足(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分所示．8\n(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)．而由，得B(1,2)，则kOB＝＝2.∴zmax不存在，zmin＝2，∴z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．因此x2＋y2的范围最小为OA2(取不到)，最大为OB2.由，得A(0,1)，∴OA2＝()2＝1，OB2＝()2＝5.∴z的最大值为5，没有最小值．故z的取值范围是(1,5]．9．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2、随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．8\n这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∵7＞0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．8
