【高考领航】2022高考数学总复习8-8曲线与方程练习苏教版【A组】一、填空题1．|y|－1＝表示的曲线是________．解析：由已知得|y|－1≥0，∴y≥1或y≤－1，将原方程两边平方，得(x－1)2＋(|y|－1)2＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)或(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)．∴原方程表示的曲线为两个半圆(如图所示)．答案：两个半圆2．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹方程是________．解析：设C(x，y)，由已知得(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，∴又λ1＋λ2＝1.消去λ1，λ2得，x＋2y＝5.答案：x＋2y＝53．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为________．解析：∵折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，∴|PA|＝|PQ|，又∵|PA|＋|OP|＝r，∴|PQ|＋|OP|＝r＞|OQ|，由椭圆的定义知，点P的轨迹是椭圆．答案：椭圆4．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是6\n________．解析：因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确．答案：②③5．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为________．解析：由条件可知，|PM|－|PN|＝|MB|－|NB|＝2，所以点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，由2a＝2，c＝3得：b2＝8，即所求方程为x2－＝1.答案：x2－＝1(x＞0)6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是________．解析：＝－(－2，y)＝，＝(x，y)－＝，∵⊥，∴·＝0，∴·＝0，即y2＝8x.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.答案：y2＝8x7．由抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R，则点R的轨迹方程是________．解析：设P(x1，y1)，R(x，y)，则Q(－，y1)，F(，0)，6\n∴直线OP的方程为y＝x，①直线FQ的方程为y＝－y1(x－)，②由①②得x1＝，y1＝，将其代入y2＝2x，可得y2＝－2x2＋x.即点R的轨迹方程为y2＝－2x2＋x.答案：y2＝－2x2＋x二、解答题8．已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与|MQ|的和，求动点M的轨迹方程．解：设MN切圆C于N，又圆的半径为|CN|＝1，因为|CM|2＝|MN|2＋|CN|2＝|MN|2＋1，所以|MN|＝.由已知|MN|＝|MQ|＋1，设M(x，y)，则＝＋1，两边平方得2x－3＝，即3x2－y2－8x＋5＝0.9．已知抛物线y2＝2x，O为顶点，A、B为抛物线上两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹．解：法一：设直线OA的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x.由得k2x2＝2x，则x＝0或x＝，∴A点坐标为，将A点坐标中的k换为－，可得B点坐标(2k2，－2k)，则直线AB的方程为y＋2k＝(x－2k2)，则y＝(x－2)．①又直线OM的方程为y＝x，②①×②整理得(x－1)2＋y2＝1(x≠0)6\n∴所求点M的轨迹是以(1,0)为圆心，半径是1的圆(去掉原点)．法二：由法一知，直线AB过N(2,0)点，因此△OMN为直角三角形，∴点M在以ON为直径的圆上运动，点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)．【B组】一、填空题1．(2022·杭州模拟)△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．答案：－＝1(x>3)2．点P到点(1,1)和到直线x＋2y＝3的距离相等，则点P的轨迹方程为________．答案：2x－y－1＝03．(2022·江苏南京十二中期中检测)已知一条曲线在y轴的右方，它上面的每一点到点A(4,0)的距离减去该点到y轴的距离之差都是4，则这条曲线的方程是________．解析：由题意，曲线上每一点P到点A(4,0)与到直线l：x＝－4距离相等，所以曲线是抛物线，方程为y2＝16x.答案：y2＝16x4．(2022·聊城月考)过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为________．答案：x＋y－1＝05．(2022·惠州调研)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为________．答案：双曲线6．已知真命题：若A为⊙O内一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是以O，A为焦点，OB长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题；若A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是________．解析：如图，连结AP，由于P是线段AB垂直平分线上一点，故有|PA|＝|PB|，因此||PA|－|PO||＝||PB|－|PO||＝|OB|＝R＝定值，其中R为⊙O的半径．又由于点A在圆外，故||PA|－|PO||＝|OB|＝R<|OA|，故动点P的轨迹是以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线．答案：以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线6\n二、解答题7．有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地间的距离为10千米，顾客选A或选B购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．解：如图所示，以AB所确定的直线为x轴，AB中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(－5,0)，B(5,0)．设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/千米，B地的运费为a元/千米．∴价格＋xA地运费≤价格＋xB地运费，即3a≤a.∵a>0，∴3≤.两边平方，得9(x＋5)2＋9y2≤(x－5)2＋y2，即2＋y2≤2.∴以点C为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线；圆C内居民从A地购货便宜；圆C外的居民从B地购货便宜；圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，可随意从A、B两地之一购货．8．已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·最小值．解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.(2)由题意知，直线l2的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.又易得点R的坐标为，∴·＝，＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)6\n＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4＋8.∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.6
