课时提升作业(十三)变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2022·哈尔滨模拟)已知f(x)=x(2013+lnx),f′(x0)=2014,则x0等于( )A.e2 B.1 C.ln2 D.e【解析】选B.因为f(x)=2013x+xlnx,所以f′(x)=2013+lnx+1=2014+lnx,又因为f′(x0)=2014,所以2014+lnx0=2014,解得x0=1.2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( )A.2 B.0 C.-2 D.-4【解析】选D.f′(x)=2f′(1)+2x,令x=1,则f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,所以f′(0)=2f′(1)+0=-4.【误区警示】本题在对f(x)求导时易出错,原因是不能将2f′(1)看成x的系数.3.若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,则 ( )A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1【解析】选A.由点P(0,b)在切线x-y+1=0知b=1,又y′=2x+a,由题意知y′|x=0=a=1.【加固训练】已知函数y=xlnx,则其在点x=1处的切线方程是( )A.y=2x-2B.y=2x+2C.y=x-1D.y=x+1【解析】选C.因为y=xlnx.所以y′=1×lnx+x·=1+lnx,y′|x=1=1.又当x=1时y=0.所以切线方程为y=x-1.4.已知曲线y=x2-3lnx的一条切线的斜率为-,则切点横坐标为( )A.-2B.3C.2或-3D.2【解析】选D.设切点坐标为(x0,y0),-7-\n因为y′=所以即+x0-6=0,解得x0=2或x0=-3(舍),故选D.【误区警示】本题易误选C,原因是忽视了函数的定义域.5.(2022·唐山模拟)曲线y=alnx(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a的值为 ( )A.4B.-4C.8D.-8【解析】选C.y′=,在x=1处的切线斜率k=a,当x=1时,y=aln1=0,即切点坐标为(1,0),因此切线方程为y=a(x-1),令y=0得x=1,令x=0得y=-a,因为a>0,所以所围成的三角形的面积为×a×1=4,解得a=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)= .【解题提示】利用换元法求出f(x),再求导.【解析】令ex=t,则x=lnt.f(t)=t+lnt.所以f(x)=x+lnx.所以f′(x)=1+,从而f′(1)=2.答案:27.(2022·广东高考)若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= .【解析】y′=k+,则y′|x=1=k+1=0.解得k=-1.答案:-18.(2022·郑州模拟)曲线y=+x在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .【解析】若y=+x,则y′|x=1=2,即曲线y=+x在点处的切线方程是y-=2(x-1),它与坐标轴的交点是围成的三角形的面积为.-7-\n答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知曲线y=+.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程.(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.【解析】(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′=x2,所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x=2=4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=+与过点P(2,4)的切线相切于点则切线的斜率为.所以切线方程为,即y=.因为点P(2,4)在切线上,所以4=,即-3+4=0,所以+-4+4=0,所以(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.10.已知函数f(x)=的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,求y=f(x)的解析式.【解析】由已知得,-1+2f(-1)+5=0,所以f(-1)=-2,即切点为(-1,-2).又f′(x)=-7-\n所以解得所以f(x)=.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·淮南模拟)点P是曲线x2-y-lnx=0上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )A.1B.C.D.2【解析】选D.将x2-y-lnx=0变形为y=x2-lnx(x>0),则y′=2x-,令y′=1,则x=1或x=-(舍),可知函数y=x2-lnx的斜率为1的切线的切点横坐标为x=1,纵坐标为y=1.故切线方程为x-y=0.则点P到直线y=x-2的最小距离即x-y=0与y=x-2的两平行线间的距离,d=.2.(5分)已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*,且n≥2),则= .【解题提示】分别求出f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),发现其规律再求解.【解析】f1(x)=sinx+cosx,f2(x)=cosx-sinx,f3(x)=-sinx-cosx,f4(x)=-cosx+sinx,f5(x)=sinx+cosx,…,因此,函数fn(x)(n∈N*)周期性出现且周期为4.又f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,所以答案:-13.(5分)(2022·武汉模拟)已知曲线f(x)=xn+1(n∈N*)与直线x=1交于点P,设曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为 .-7-\n【解析】由题意知P(1,1),f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1,点P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-,即xn=,所以x1·x2·…·x2014=,则log2015x1+log2015x2+...+log2015x2014=log2015(x1·x2·…x2014)=log2015=-1.答案:-14.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.所以曲线在点(2,-6)处的切线的斜率为f′(2)=13.所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2),即13x-y-32=0.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=+1,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.又因为直线l过点(0,0),所以0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-+3垂直,所以切线的斜率为4.设切点的坐标为(x0′,y0′),-7-\n则f′(x0′)=3x′+1=4,所以x0′=±1,所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1).即4x-y-18=0或4x-y-14=0.【加固训练】(2022·沧州模拟)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.【解析】f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线.所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.【解题提示】分别对f(x),g(x)求导.求出切线斜率,然后求出a可得切线方程,再判断.【解析】根据题意有f′(x)=1+,g′(x)=-.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g′(1)=-a.所以f′(1)=g′(1),即a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),-7-\n得:y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1).得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以,两条切线不是同一条直线.-7-
