两角和与差的正弦、余弦、正切公式A级——基础过关练1．sin105°的值为( )A．B．C．D．【答案】D 【解析】sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°·cos60°＋cos45°sin60°＝×＋×＝.2．(多选)下列四个选项，化简正确的是( )A．cos(－15°)＝B．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝D．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝【答案】BCD 【解析】对于A，(方法一)原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝，(方法二)原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝，A错误．对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝，C正确．对于D，原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝，D正确．故选BCD．3．(2020年青岛高一期中)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－，则tanβ＝( )A．2B．C．D．6
【答案】A 【解析】因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，所以sin(α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝＝－2，则tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝2.故选A．4．(2020年抚州高一期中)已知cos＝2cos(π＋α)，且tan(α＋β)＝，则tanβ的值为( )A．－7B．7C．1D．－1【答案】B 【解析】因为cos＝2cos(π＋α)，所以sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.又因为tan(α＋β)＝＝＝，解得tanβ＝7.故选B．5．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，则cosα＝( )A．B．C．－D．－【答案】B 【解析】因为0＜α＜，－<β<0，所以0＜α－β＜π.又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.因为－<β<0，sinβ＝－，所以cosβ＝.所以cosα＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ＝×－×＝.6．(2020年上海黄浦区高一期中)已知sinx＝，x∈，则tan的值等于________．【答案】－ 【解析】因为sinx＝，x∈，所以cosx＝－，tanx＝－.所以tan＝＝＝－.6
7．若sinα＋2cosα＝0(0＜α＜π)，则tanα＝________，tan＝________.【答案】－2 － 【解析】因为sinα＋2cosα＝0(0＜α＜π)，所以sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.所以tan＝＝＝－.8．(2020年湘潭高一期中)已知tanα，tanβ是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan(α＋β)＝________.【答案】－ 【解析】因为tanα，tanβ是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，所以tanα＋tanβ＝－，tanαtanβ＝－.所以tan(α＋β)＝＝＝－.9．已知cosα＝(α为第一象限角)，求cos，sin的值．解：因为cosα＝，且α为第一象限角，所以sinα＝＝＝.所以cos＝coscosα－sinsinα＝×－×＝，sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝.B级——能力提升练10．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝( )A．±1B．1C．－1D．0【答案】D 【解析】原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0.故选D．11．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α的值为( )6
A．－B．C．D．－【答案】A 【解析】tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.12．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】B 【解析】由题意得sinA＝，sinB＝，所以cosC＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cosA·cosB＋sinAsinB＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．13．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则角C等于( )A．B．C．D．【答案】A 【解析】由已知，得tanA＋tanB＝·(tanAtanB－1)，即＝－.所以tan(A＋B)＝－.所以tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，得C＝.14．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.(1)求cos(2α－β)的值；(2)求β的值．解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈.又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.所以sinα＝＝，6
cos(α－β)＝＝.cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝×－×＝.(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.又因为β∈，所以β＝.C级——探究创新练15．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2－2cos2x(x∈R)．(1)求函数f(x)的周期和递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点x1，x2，求tan(x1＋x2)的值．解：(1)因为f(x)＝(sinx＋cosx)2－2cos2x＝1＋2sinx·cosx－2cos2x＝sin2x－cos2x＝sin(x∈R)，所以函数f(x)的周期T＝＝π.因为函数y＝sinx的单调递增区间为(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，化简得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即(k∈Z)．(2)因为方程g(x)＝f(x)－m＝0同解于f(x)＝m.在直角坐标系中画出函数f(x)＝sin在上的图象，如图，当且仅当m∈[1，)时，6
方程f(x)＝m在上的区间和有两个不同的解x1、x2，且x1与x2关于直线x＝对称，即＝，所以x1＋x2＝，故tan(x1＋x2)＝tan＝－1.6
