课时规范练21 两角和与差的正弦、余弦与正切公式 基础巩固组1.(2020全国2,理2)若α为第四象限角,则( ) A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<02.已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)=( )A.12B.32C.-12D.-323.(2020全国1,理9)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα=( )A.53B.23C.13D.594.(2020广东广州一模,理3)sin80°cos50°+cos140°sin10°=( )A.-32B.32C.-12D.125.若tanα=2tanπ5,则cos(α-3π10)sin(α-π5)=( )A.1B.2C.3D.46.下列各式值为12的是( )A.2sin15°cos15°B.1+tan15°2(1-tan15°)C.1-2sin215°D.3tan15°1-tan215°7.(2020河北邢台模拟,理9)已知函数f(x)=sin2x+sin2x+π3,则( )A.f(x)的最小正周期为π2\nB.曲线y=f(x)关于π3,0对称C.f(x)的最大值为2D.曲线y=f(x)关于x=π6对称8.(2020江苏,8)已知sin2π4+α=23,则sin2α的值是 . 9.函数f(x)=sin2xsinπ6-cos2xcos5π6在-π2,π2上的单调递增区间为 . 综合提升组10.(2020河北邢台模拟,理7)《九章算术》一书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为今有水池1丈见方(即CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?假设θ=∠BAC,现有下述四个结论:①水深为12尺;②芦苇长为15尺;③tanθ2=23;④tanθ+π4=-177.其中正确的结论是( )A.①③B.①③④C.①④D.②③④11.(2020山东潍坊临朐模拟二,6)若sinαcosα1-cos2α=14,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=( )A.43B.-43C.3D.-312.(2020东北三省四市模拟,理9)已知A(xA,yA)是圆心为坐标原点O,半径为1的圆上的任意一点,将射线OA绕点O逆时针旋转2π3到OB交圆于点B(xB,yB),则2yA+yB的最大值为( )A.3B.2C.3D.513.(2020山东模考卷,14)已知cosα+π6-sinα=435,则sinα+11π6= . 14.函数f(x)=4cos2x2cosπ2-x-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为 . 15.(2020江苏南通三模,9)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-12,若f(α)=26,则cosπ4-2α的值为 . 创新应用组\n16.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=23,则|a-b|=( )A.15B.55C.255D.117.(2020山东菏泽模拟)已知角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),则25sinα-7tan2α的值为 . 参考答案课时规范练21 两角和与差的正弦、余弦与正切公式1.D ∵α为第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,∴sin2α=2sinαcosα<0.故选D.2.A 由三角函数定义,sinα=cos47°,cosα=sin47°,则sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=12.3.A 原式化简得3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=-23或cosα=2(舍去).∵α∈(0,π),∴sinα=1-cos2α=53.4.D 由sin80°=sin(90°-10°)=cos10°,cos140°=cos(90°+50°)=-sin50°,所以sin80°cos50°+cos140°sin10°=cos10°cos50°-sin10°sin50°=cos60°=12,故选D.5.C 因为tanα=2tanπ5,所以cos(α-3π10)sin(α-π5)=sin(α-3π10+π2)sin(α-π5)=sin(α+π5)sin(α-π5)=sinαcosπ5+cosαsinπ5sinαcosπ5-cosαsinπ5=tanα+tanπ5tanα-tanπ5=3tanπ5tanπ5=3.6.A 对于选项A,2sin15°cos15°=sin30°=12;对于选项B,1+tan15°2(1-tan15°)=tan45°+tan15°2(1-tan45°tan15°)=12tan(45°+15°)=12tan60°=32;对于选项C,1-2sin215°=cos30°=32;对于选项D,3tan15°1-tan215°=322tan15°1-tan215°=32tan30°=32.故选A.7.D f(x)=sin2x+12sin2x+32cos2x=3sin2x+π6,则T=π,f(x)的最大值为3,当x=π6时,fπ6=3sin2×π6+π6=3,曲线y=f(x)关于x=π6对称,当x=π3时,fπ3=3sin2×π3+π6≠0,故曲线y=f(x)不关于π3,0对称.故选D.\n8.13 ∵cosπ2+2α=1-2sin2π4+α=1-2×23=-13.又cosπ2+2α=-sin2α,∴sin2α=13.9.-5π12,π12 f(x)=sin2xsinπ6-cos2xcos5π6=sin2xsinπ6+cos2xcosπ6=cos2x-π6.当2kπ-π≤2x-π6≤2kπ(k∈Z),即kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,取k=0,得-5π12≤x≤π12,故函数f(x)在-π2,π2上的单调递增区间为-5π12,π12.10.B 设BC=x,则AC=x+1,∵AB=5,∴52+x2=(x+1)2,∴x=12.即水深为12尺,芦苇长为13尺.∴tanθ=BCAB=125,由tanθ=2tanθ21-tan2θ2,解得tanθ2=23(负根舍去).∵tanθ=125,∴tanθ+π4=1+tanθ1-tanθ=-177.故正确的结论为①③④.故选B.11.A 由题得sinαcosα1-cos2α=sinαcosα2sin2α=cosα2sinα=14,得tanα=2.由tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2,解得tanβ=0,又tan(β-α)=-tan(α-β)=-2,则tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=tan(β-α)-tanα1+tan(β-α)tanα=-2-21-2×2=43,故选A.12.C 设射线OA与x轴正向所成的角为α,则xA=cosα,yA=sinα,xB=cosα+2π3,yB=sinα+2π3,所以2yA+yB=2sinα+sinα+2π3=2sinα-12sinα+32cosα=32sinα+32cosα=3sinα+π6≤3,当α=π3时,取得等号.故选C.13.-45 ∵cosα+π6-sinα=cosαcosπ6-sinαsinπ6-sinα=32cosα-32sinα=312cosα-32sinα=3cosα+π3=435,∴cosα+π3=45.则sinα+11π6=sinα-π6=-cosα-π6+π2=-cosα+π3=-45.14.2 令f(x)=4·1+cosx2·sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|=0,即sin2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系作出y=sin2x与y=|ln(x+1)|的图象.由图象知共2个交点,故f(x)的零点个数为2.\n15.13 (方法1)f(x)=cosx(sinx+cosx)-12=sinxcosx+cos2x-12=12sin2x+1+cos2x2-12=12sin2x+12cos2x=22sin2x+π4,因为f(α)=26,所以sin2α+π4=13,所以cosπ4-2α=cosπ2-2α+π4=sin2α+π4=13.(方法2)f(x)=cosx(sinx+cosx)-12=sinxcosx+cos2x-12=12sin2x+1+cos2x2-12=12sin2x+12cos2x,因为f(α)=26,所以sin2α+cos2α=23,所以cosπ4-2α=cosπ4cos2α+sinπ4sin2α=22(cos2α+sin2α)=22×23=13.16.B 由题意可知tanα=b-a2-1=b-a,又cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=1-(b-a)21+(b-a)2=23,∴5(b-a)2=1,得(b-a)2=15,则|b-a|=55.17.-39 因为角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),所以x=4a,y=3a,r=(4a)2+(3a)2=-5a,所以sinα=3a-5a=-35,tanα=3a4a=34,所以tan2α=2tanα1-tan2α=2×341-(34) 2=247,所以25sinα-7tan2α=25×-35-7×247=-39.
