直线与圆的位置关系1.（2020吉林学业水平考试）已知直线l：y=x+1和圆C：x2+y2=1，则直线l和圆C的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不能确定答案：A2.已知直线l：x-y+1=0与圆C：x2+y2-4x-2y+1=0交于A、B两点，则|AB|=()A.2B.22C.4D.42答案：B3.已知直线l：y=k(x+3)和圆C：x2+(y-1)2=1，若直线l与圆C相切，则k=()A.0B.3C.33或0D.3或0答案：D4.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a＞0)和直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a等于()A.2B.2-2C.2-1D.2+1答案：C5.（2021黑龙江哈尔滨师大附中高二期中）当过点(1,2)的直线被圆x2+y2=9截得的弦长最短时，直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x-y=0C.2x-y+3=0D.x+2y=0答案：A6.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交，则实数m的取值范围为()A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)答案：D7
7.（2021福建厦门外国语学校高二期中）若直线l：x=my+2与曲线C：y=1-x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，实数m的值为()A.0B.±3C.-1D.-3答案：D解析：曲线y=1-x2表示圆心为原点，半径为1的圆的上半圆弧，若直线l与曲线C相交于A，B两点，则直线l的斜率1m≤0⇒m＜0，则点O到l的距离d=21+m2，又S△AOB=12|AB|⋅d=12×21-d2×d≤1-d2+d22=12，当且仅当1-d2=d2，即d2=12时，S△AOB取得最大值，所以d2=21+m2=12，解得m=-3或m=3（舍去）.8.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2和点P(x0,0)，若圆C上存在两点A，B使得∠APB=π3，则实数x0的取值范围是()A.[-3,1]B.[-1,3]C.[-2,3]D.[-2,4]答案：B解析：由题意得圆C的圆心为C(1,2)，半径r=2，如图所示，由图可知，当PA和PB与圆C相切时，∠APB最大，若要使圆C上存在两点A，B使得∠APB=π3，则∠APC≥π6，∴|PC|≤2sinπ6=22，即(x0-1)2+(0-2)2≤22，解得-1≤x0≤3.7
9.（2021江西南昌第十中学高二期中）点P(x,y)是直线kx+y+3=0上一动点，PA,PB是圆C：x2+y2-4y+3=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为.答案：±2解析：易知圆C的圆心为C(0,2)，半径为1，因为PA,PB是圆C的两条切线，A，B是切点，所以S四边形PACB=2S△PAC=|PA|⋅|AC|=|PA|=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1，当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，而|PC|的最小值即点C到直线kx+y+3=0的距离d=5k2+1，所以d2-1=2⇒k2=4⇒k=±2.素养提升练10.（多选题）（2021山东肥城高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知A(-4,2)，B(2,2)，点P满足|PA||PB|=2，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是()A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为π3C.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为±155D.在直线y=2上存在异于A，B的两点D，E，使得|PD||PE|=2答案：A;B;D解析：设点P(x,y)，因为A(-4,2)，B(2,2)，点P满足|PA||PB|=2，所以(x+4)2+(y-2)2(x-2)2+(y-2)2=2，化简得x2+y2-8x-4y+4=0，即(x-4)2+(y-2)2=16，故A中说法正确；设两条切线的夹角为α，易知|AC|=8，圆C的半径r=4，所以sinα2=r|AC|=12，则α2=π6，解得α=π3，故B中说法正确；易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x+4)，即kx-y+4k+2=0，因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，所以圆心(4,2)到直线的距离d=|8k|k2+1=2，解得k=±1515，故C中说法错误；假设存在异于A，B的两点D(m,2)，E(n,2)，则(x-m)2+(y-2)2(x-n)2+(y-2)2=2，7
化简得x2+y2+2m-8n3x-4y+4n2-m2+123=0，因为点P的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+4=0，所以2m-8n3=-8,4n2-m2+123=4,解得m=12,n=6或m=-4,n=2（舍去），故存在D(12,2),E(6,2)，所以D中说法正确.11.（2021四川江油一中高二期中）若圆C：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，由点(a,b)向该圆引切线，则切线长的最小值为()A.2B.4C.6D.8答案：B解析：由题意得圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2，所以圆心为(-1,2)，半径为2，因为圆C关于直线2ax+by+6=0对称，所以圆心位于该直线上，所以-2a+2b+6=0，即点(a,b)在直线l：-x+y+3=0上，设D(a,b)，过点D作圆C的切线，切点为E，则|DE|=|CD|2-r2=|CD|2-2，要使|DE|最小，则只需|CD|最小，所以|CD|的最小值即过点C作直线l：-x+y+3=0的垂线，此时|CD|=|1+2+3|2=32,|CE|=r=2，所以|DE|=|CD|2-|CE|2=4.12.（多选题）过O(0,0)作圆C：(x-4)2+(y-4)2=4的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是()A.|AB|=14B.|OA|=47C.直线AB的方程为x+y=7D.cos∠AOB=47答案：A;C7
解析：如图所示，连接OC交直线AB于D，连接AC,BC，在Rt△OAC中，|AC|=2,|OC|=42，则|AO|=27，sin∠AOC=|AC||OC|=24=sin∠AOD=|AD||AO|=|AD|27，∴|AD|=142,∴|AB|=2|AD|=14，故A中说法正确，B中说法错误.易知AB⊥OC，kOC=1，∴kAB=-1，∴|OD|=|AO|2-|AD|2=722，设直线AB的方程为y=-x+b(b＞0)，即x+y-b=0，∴|OD|=|b|2=722，∴b=7（负值舍去），故y=-x+7，∴C中说法正确.∵sin∠AOC=24,∴cos∠AOB=1-2×(24)2=34，∴D中说法错误.13.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，用坐标法求线段DE的最短距离.答案：以O为坐标原点，OB,OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2+y2=1，B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8+y8=1，即x+y=8.7
当点D是与直线BC平行的直线（距BC较近的一条）和圆O相切所成的切点时，|DE|为最短距离，此时|DE|的最小值为|0+0-8|2-1=(42-1)km.创新拓展练14.（2021江西南昌第二中学高二期中）已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度及此时l的方程.命题分析本题考查了直线与圆的位置关系，用几何法求弦长.答题要领（1）确定直线l过定点P，且定点P在圆内，则易得直线l与圆C相交.（2）当PC⊥l时，弦长最短，由此可计算出最短弦长和直线l的方程.详细解析（1）将直线l的方程变形为m(2x+y-7)+x+y-4=0，由2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1,所以直线l恒过定点P(3,1).∵(3-1)2+(1-2)2＜25，∴点P在圆内，∴无论m取何值，直线l与圆C都相交.（2）设圆心C到直线l的距离为d，直线l被圆截得的弦长为L，如图所示，当直线PC与直线l不垂直时，d＜|PC|；当PC⊥l时，d=|PC|，所以d≤|PC|，即当PC⊥l时，d取得最大值，dmax=|PC|=(3-1)2+(1-2)2=5.易知直线PC的斜率kPC=1-23-1=-12，又PC⊥l，所以直线l的斜率k=-1kPC=2，此时直线l的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.直线l被圆截得的弦长的最小值Lmin=2×25-(5)2=45.7
解题感悟利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程，解析几何的有关知识并结合图形分析.7
