【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程北师大版一、选择题1．已知A(3,1)，B(－1，k)，C(8,11)三点共线，则k的取值是( )A．－6B．－7C．－8D．－9[答案] B[解析] ∵A，B，C三点共线，∴＝.∴k＝－7.2．(文)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] C[解析] 由A·C<0及B·C<0，可知A≠0，B≠0，又直线Ax＋By＋C＝0过(－，0)，(0，－)，且－>0，－>0，∴直线不过第三象限．(理)光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为( )A．y＝3x－3B．y＝－3x＋3C．y＝－3x－3D．y＝3x＋3[答案] B[解析] 点M关于x轴的对称点M′(2，－3)，则反射光线即在直线NM′上，由＝，得y＝－3x＋3.3．(2022·佛山检测)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1[答案] D-7-\n[解析] 由题意得a＋2＝，解得a＝－2或a＝1.4．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是的直线方程为( )A．3x－5y＋10＝0B．3x－4y＋8＝0C．3x＋4y＋10＝0D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0[答案] D[解析] 设所求直线的倾斜角为α，则sinα＝，∴tanα＝±，∴所求直线方程为y＝±x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.5．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．2x－y－4＝0D．2x＋y－7＝0[答案] A[解析] 易知A(－1,0)．∵|PA|＝|PB|，∴P在AB的中垂线即x＝2上．∴B(5,0)．∵PA，PB关于直线x＝2对称，∴kPB＝－1.∴lPB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.6．(文)已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( )A．0B．C．D．－[答案] C[解析] kPQ＝－得直线PQ的倾斜角为120°，将直线PQ绕点P-7-\n顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k＝tan60°＝.(理)点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是( )A．B．C．D．[答案] D[解析] 令k＝，则k可以看成过点D(1,2)和点P(x，y)的直线斜率，显然kDA是最小值，kBD是最大值．由于不包含边界，所以k∈.二、填空题7．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] ∵直线的斜率k＝，且直线的倾斜角为钝角，∴<0，解得－2<a<1.8．直线ax＋my－2a＝0(m≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．[答案] 135°[解析] ∵ax＋my－2a＝0(m≠0)过点(1,1)，∴a＋m－2a＝0.∴m＝A．直线方程为ax＋ay－2a＝0，又m＝a≠0，∴直线方程即为x＋y－2＝0.∴斜率k＝－1，∴倾斜角α＝135°.9．一条直线l过点P(1,4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为________．[答案] 4x＋y－8＝0[解析] 设l：＋＝1(a，b>0)．-7-\n因为点P(1,4)在l上，所以＋＝1.由1＝＋≥2⇒ab≥16，所以S△AOB＝ab≥8.当＝＝，即a＝2，b＝8时取等号．故直线l的方程为4x＋y－8＝0.三、解答题10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.[解析] (1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)＝±6，解得k1＝－或k2＝－.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.一、选择题1．(2022·茂名模拟)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )A．B．－-7-\nC．－D．[答案] B[解析] 设P(xP，yP)，由题意及中点坐标公式，得xP＋7＝2，解得xP＝－5，∴P(－5,1)，∴直线l的斜率k＝＝－.2．(文)设直线l的方程为x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是( )A．[0，π) B．C．D．∪[答案] C[解析] 当cosθ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；当cosθ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.∵cosθ∈[－1,1]且cosθ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tanα∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈∪.综上知倾斜角的范围是，故选C．(理)(理)已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，把直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A．3x＋y－6＝0B．3x－y＋6＝0C．x＋y－3＝0D．x－3y－2＝0[答案] A[解析] 由题意知M(2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tanα＝2,45°<α<90°，tanβ＝tan(α＋45°)＝＝－3，所以所求直线方程为y－0＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.-7-\n二、填空题3．经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为________．[答案] 2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0[解析] 设所求直线方程为＋＝1，由已知可得解得或∴2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0为所求．4．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线[答案] ①③⑤[解析] 对于①，举例：y＝x＋.故①正确；对于②，举例：y＝x－，过整点(1,0)，故②不正确；对于③，不妨设两整点(a1，b1)，(a2，b2)，(b1≠b2)，则直线为：y＝(x－a1)＋b1，只需x－a1为a2－a1的整数倍．即x－a1＝k(a2－a1)，(k∈Z)就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y＝x＋，k与b均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确．三、解答题5．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[解析] (1)∵l在两坐标轴上的截距相等，∴直线l的斜率存在，a≠－1.令x＝0，得y＝a－2.令y＝0，得x＝.-7-\n由a－2＝，解得a＝2，或a＝0.∴所求直线l的方程为3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0.(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2.∵l不经过第二象限，∴∴a≤－1.∴a的取值范围为(－∞，－1]．6．已知直线l:kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．[解析] (1)直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解之得.∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x轴上的截距为－(k≠0)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有或k＝0，解之得k≥0.(3)由l的方程得，A(－，0)，B(0,1＋2k)．依题意得，解得k>0.∵S＝·|OA|·|OB|＝·||·|1＋2k|＝·＝(4k＋＋4)≥(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法．-7-
