【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第1节直线的方程与两条直线的位置关系新人教B版一、选择题31．(2022·龙岩月考)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为()4A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0[答案]A3[解析]由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.43π2．(文)(2022·宁都模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝()4A．－1B．－3C．0D．2[答案]B2y＋1－－32y＋4[解析]由＝＝y＋2，4－223π得：y＋2＝tan＝－1，∴y＝－3.4(理)(2022·天津模拟)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()πA．(0，)B．(0，π)2πππ3πC．[－，]D．[0，]∪[，π)4444[答案]D[解析]直线x·sinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，π当0≤k≤1时，倾斜角的范围是[0，]；43π当－1≤k<0时，倾斜角的范围是[，π)．43．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直[答案]CsinAb[解析]由已知得a≠0，sinB≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理asinBsinAb得：k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直，故选C.asinB-1-\n4．(2022·浙江六校联考)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()11A．k＝，b＝4B．k＝－，b＝42211C．k＝，b＝－4D．k＝－，b＝－422[答案]C[解析]直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所以圆心(2,0)在直线2x＋y＋b＝0上，即2×2＋b＝0，∴b＝－4.又直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，∴1k·(－2)＝－1，即k＝.2xyxy5．(文)两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()abba[答案]A[解析]直线l1在x轴上的截距与直线l2在y轴上的截距互为相反数，直线l1在y轴上的截距与l2在x轴上的截距互为相反数，故选A.[点评]可用斜率关系判断，也可取特值检验．(理)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是()3333A．(－，)B．(－，0)∪(0，)33333333C．[－，]D．(－∞，－)∪(，＋∞)3333[答案]B[解析]曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，图形为圆心为(1,0)，半径为1的圆；曲线C2：y＝0或者y－mx－m＝0，直线y－mx－m＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C2图象为x轴与恒过定点(－1,0)的两条直-2-\n线．33作图分析：k1＝tan30°＝，k2＝－tan30°＝－，3333又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m＝k∈(－，0)∪(0，)．3336．(文)已知a、b为正数，且直线(a＋1)x＋2y－1＝0与直线3x＋(b－2)y＋2＝0互相垂直，则a2＋的最小值为()b13A．12B．6C．1D．25[答案]D[解析]∵两直线互相垂直，∴3(a＋1)＋2(b－2)＝0，∴3a＋2b＝1，∵a、b>0，3232∴＋＝(＋)(3a＋2b)abab6b6a6b6a＝13＋＋≥13＋2·abab＝25.6b6a＝ab1等号成立时，，∴a＝b＝，53a＋2b＝132故＋的最小值为25.ab(理)(2022·厦门双十中学期中)已知直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝()77A．－B．335C.D．17[答案]D1[解析]由条件知tanα＝2，－3tanβ＝1，∴tanβ＝－，312＋－tanα＋tanβ3∴tan(α＋β)＝＝＝1，故选D.1－tanα·tanβ11－2×－3二、填空题7．(2022·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．[答案]4[解析]∵A，B，C三点共线，-3-\na－35－3∴＝，5－46－4∴a＝4.158．(文)(2022·山东青岛一模)曲线y＝x3－2以点(1，－)为切点的切线的倾斜角为________．33[答案]45°[解析]y′＝x2，k＝y′|x＝1＝1，切线的倾斜角为45°.(理)(2022·江苏南通调研)在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________．[答案]3x＋y－3－1＝0[解析]直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1,1)，∴H(1,0)．直线HB的方程为y＝x－1，1＋3－1＋3y－1x－1代入半圆方程得B(，)．所以，直线AB的方程为＝，即3x22－1＋31＋3－1－122＋y－3－1＝0.9．(2022·佛山市检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．1[答案]2x[解析]直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由2动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，由ab＝(2－2b)b＝－11112b2＋2b＝－2(b－)2＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.2222三、解答题10．(文)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.m2－8＋n＝0，[解析](1)由题意得2m－m－1＝0，n＝7，解得m＝1，∴当m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(1，－1)．m8n(2)l1∥l2⇔＝≠，2m－1得：m＝4，n≠－2，或m＝－4，n≠2.(3)l1⊥l2⇔m×2＋8×m＝0，∴m＝0，则l1：8y＋n＝0.又l1在y轴上的截距为－1，则n＝8.综上知m＝0，n＝8.[点评]讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况．处理l1⊥l2时，利用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可避免对斜率存在是否的讨论．-4-\n(理)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．[解析]当k不存在时B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为：y＋1＝k(x－3)，1令y＝0得B(3＋，0)，ky＝2x1＋3k由得C点横坐标xc＝.y＋1＝kx－3k－2若|BC|＝2|AB|则|xB－xC|＝2|xA－xB|，1＋3k11∴|－－3|＝2||，k－2kk1＋3k121＋3k12∴－－3＝或－－3＝－，k－2kkk－2kk31解得k＝－或k＝.24∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.一、选择题11．(文)(2022·福建文)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0[答案]D[解析]圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x－y＋3＝0.(理)(2022·开封摸底)直线2x＋my＝2m－4与直线mx＋2y＝m－2垂直的充要条件是()A．m＝2B．m＝－2C．m＝0D．m∈R[答案]C[解析]由题意得，2m＋2m＝0，得m＝0.故选C.12．(文)(2022·广东)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝0[答案]A|m|[解析]设直线方程为x＋y＋m＝0，直线与圆相切，则＝1，m＝－2或m＝2(由直线与2-5-\n圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去)，所以选A.(理)若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m的取值范围是()11A.<m<1B．－1<m≤2211C．－≤m<1D．≤m≤122[答案]D[解析]若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则直线过二、三、四象限，则斜率m2－1≤0，1和截距均小于等于0.直线变形为y＝(m2－1)x－2m＋1，则⇒≤m≤1，故选D.－2m＋1≤0，2－2m＋1<0，2m－1[点评](1)令x＝0得y＝－2m＋1，令y＝0得，x＝，则2m－1或m2－1<0，m2－1－2m＋1＝0，也可获解．m2－1≤0，(2)取特值m＝0,1，检验亦可获解．13．(2022·河南安阳一模)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点的轨迹方程为()A．3x－y－20＝0B．3x－y－10＝0C．3x－y－9＝0D．3x－y－12＝0[答案]A5[解析]设AC的中点为O，则O(，－2)．2设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，x0＝5－x，即D(x0，y0)，则y0＝－4－y，由3x0－y0＋1＝0得3x－y－20＝0.114．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋＝0相交于一点，则k的值为()21A．－2B．－21C．2D.2[答案]Bx－y－1＝0[解析]由得交点P(－1，－2)，2x＋3y＋8＝011P在直线x＋ky＋k＋＝0上，∴k＝－.22二、填空题15．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2的距离为________．55[答案]或210-6-\n[解析]由(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，且－2×1－(4－k)×3≠0，∴k＝3或5.5当k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，此时l1与l2距离为：；2|3－2|5当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2的距离为＝.42＋－22101116．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋＝________.ab1[答案]2xy[解析]设直线方程为＋＝1，因为A(2,2)在直线上，ab22111所以＋＝1，即＋＝.abab2三、解答题17．(文)(2022·江苏扬州一模)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)1作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线2AB的方程．3[解析]由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：33y＝－x.3设A(m，m)，B(－3n，n)，m－3nm＋n所以AB的中点C(，)，221由点C在直线y＝x上，且A、P、B三点共线得，2m＋n1m－3n＝·，222m＝3，m－0n－0解得所以A(3，3)．＝，n＝3－23，m－1－3n－133＋3又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，3－123＋3所以lAB：y＝(x－1)，2即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.(理)(2022·辽宁五校联考)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，a)，N2(0，b)，且ab＝3.-7-\n(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；(2)已知点F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．a[解析](1)依题意知直线A1N1的方程为：y＝(x＋2)，①2b直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)，②2设R(x，y)是直线A1N1与A2N2交点，①×②得aby2＝－(x2－4)．4x2y2将ab＝3代入整理得＋＝1.43∵点N1、N2不与原点重合，∴点A1(－2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上，x2y2∴轨迹M的方程为＋＝1(x≠±2)．43(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为零，y＝kx＋m，联立方程x2y2消去y得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x1，y1)、Q(x2，＋＝1.43y2)，则－8kmx1＋x2＝，3＋4k2kx1＋mkx2＋m4m2－12(*)且kF2P＝，kF2Q＝.x1x2＝，x1－1x2－13＋4k2由已知α＋β＝π，得kF2P＋kF2Q＝0，kx1＋mkx2＋m∴＋＝0，x1－1x2－1化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，4m2－128mkm－k将(*)式代入，得2k×－－2m＝0，3＋4k23＋4k2整理得m＝－4k.∴直线l的方程为y＝k(x－4)，∴直线l过定点，该定点的坐标为(4,0)．x2y2218．(2022·广东揭阳一中期中)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1,0)．a2b22(1)求椭圆的方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．c2[解析](1)由题意知c＝1，＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，a2x2∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.2(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，-8-\n①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x＝1，不符合题意．②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y＝k(x－1)．x2＋y2＝1，2由消去y得，[1＋2k2]x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，y＝kx－1.4k22k2－1∴x1＋x2＝，x1·x2＝.1＋2k21＋2k2－k2∴y1·y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝.1＋2k2→→∵OM⊥ON，∴OM·ON＝0，k2－2∴x1·x2＋y1·y2＝＝0，∴k＝±2.1＋2k2∴直线l的方程为：y＝±2(x－1)．-9-
