第8讲 构造法在解题中的应用[方法精要] 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连结条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法．解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手．在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径．构造法就是这样的手段之一．构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维．其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性．数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法．题型一 构造向量解决不等式的问题例1 若直线＋＝1通过点M(cosα，sinα)，则下列正确的有________．①a2＋b2≤1;②a2＋b2≥1；③＋≤1;④＋≥1.破题切入点 根据点在直线上可以得到＋＝1，联想向量的数量积的坐标运算法则，可以构造向量．答案 ④解析 设向量m＝(cosα，sinα)，n＝(，)，由题意知＋＝1，由m·n≤|m||n|可得1＝＋≤.所以＋≥1.题型二 构造不等式解决证明问题例2 已知a，b，c>0，证明：＋＋≥.破题切入点 直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式．观察其结构特点，必须想办法去掉不等式左端各项的分母，为此可以做变换：在不等式两端都加上，即我们证明不等式＋＋＋≥a＋b＋c，这时把拆成＋＋，就可以构造轮换不等式了．证明 证明＋＋≥，-7-\n即证＋＋＋≥a＋b＋c，即证＋＋＋＋＋≥a＋b＋c.又因为＋≥a，＋≥b，＋≥c，所以所证三式相加，不等式成立．题型三 构造函数最值、比较大小的问题例3 已知f(x)＝3－4x＋2xln2，数列{an}满足－<an<0,21＋an＋1＝f(an)(n∈N*)．(1)求f(x)在[－，0]上的最大值和最小值；(2)判断an与an＋1(n∈N*)的大小，并说明理由．破题切入点 (1)直接按照导数研究函数的方法解决．(2)根据给出的条件21＋an＋1－21＋an＝f(an)－21＋an，可以构造函数g(x)＝f(x)－2x＋1，通过研究这个函数解决问题．解 (1)f′(x)＝(1－4x)ln4，当－<x<0时，0<1－4x<，∴f′(x)>0，∴f(x)＝3－4x＋2xln2在[－，0]上是增函数，∴f(x)max＝f(0)＝2；f(x)min＝f(－)＝－ln2.(2)由21＋an＋1－21＋an＝f(an)－21＋an，记g(x)＝f(x)－2x＋1得g′(x)＝f′(x)－2x＋1ln2＝(1－2x－4x)ln4，当－<x<0时，<2x<1，<4x<1.故1－2x－4x<1－－<0，所以g′(x)<0，得g(x)在(－，0)上是减函数，所以g(x)>g(0)＝f(0)－2＝0，∴f(an)－21＋an>0，即21＋an＋1－21＋an>0，得an＋1>an.题型四 构造数列解决数列求和的问题例4 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2Sn·Sn－1(n≥2)．(1)求出通项公式an.(2)求证：S＋S＋…＋S≤－.破题切入点 (1)首先根据已知条件求出Sn的通项公式，进而求出通项an.(2)利用放缩法和拆项法证明．(1)解 因为an＝－2Sn·Sn－1(n≥2)，-7-\n所以Sn－Sn－1＝－2Sn·Sn－1，两边同除Sn·Sn－1，得－＝2(n≥2)，所以数列{}是以＝＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列．所以＝＋(n－1)·d＝2＋2(n－1)＝2n，所以Sn＝.又因为an＝－2Sn·Sn－1(n≥2)，所以当n≥2时，an＝－2Sn·Sn－1＝－2··＝，所以an＝(2)证明 因为S＝<＝(－)，S＝，所以当n≥2时，S＋S＋…＋S＝＋＋…＋<＋(1－)＋…＋(－)＝－，当n＝1时，S＝＝－.综上S＋S＋…＋S≤－.总结提高 用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从上面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套．但可以尝试从中总结规律，在运用构造法时，一要明确构造的目的，即以什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造．1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为________．答案 0解析 如图，选取不共面的向量，，为基底，-7-\n则原式＝·(－)＋·(－)＋·(－)＝·－·＋·－·＋·－·＝0.2．已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则数列{an}的通项公式为________．答案 an＝2n－1解析 因为an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1.3．函数f(x)＝＋的值域是________．答案 [5，＋∞)解析 f(x)＝＋其几何意义是平面内动点P(x,0)到两定点M(2,3)和N(5，－1)的距离之和(如图)，为求其值域只要求其最值即可，易知当M，N，P三点共线(即P在线段MN上)时，f(x)取得最小值，f(x)min＝MN＝＝5，无最大值，故得函数的值域为[5，＋∞)．4.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积为________．答案 π解析 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.5．已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－-7-\n，则a，b，c的大小关系为________．答案 a>b>c解析 令f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝－1＝.当0<x<1时，f′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵1>>>>0，∴a>b>c.6．若a>b>c>0，则，，的大小关系是________．答案 <<解析 构造函数f(x)＝log2(x＋1)，问题就是函数f(x)图象上的三个点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率在比较大小，观察图象即得．7．若x2＋y2＝3，a2＋b2＝4(x，y，a，b∈R)，则ax＋by的取值范围是________．答案 [－2，2]解析 构造向量m＝(x，y)，n＝(a，b)，θ为m与n的夹角，则ax＋by＝m·n＝|m||n|cosθ＝×cosθ＝2cosθ.∵－1≤cosθ≤1，∴－2≤2cosθ≤2.∴ax＋by的最小值为－2，最大值为2.8．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M.若过点P(，0)，所作圆M的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．答案 解析 过点(，0)作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形OAPB是一个正方形，即圆心O到点P(，0)的距离等于圆的半径的倍，即＝a，故e＝＝.9．设a>b>c且a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求a＋b的范围．解 由a＋b＋c＝1得a＋b＝1－c，①将①的两边平方并将a2＋b2＋c2＝1代入得ab＝c2－c，②由①②可知，a，b是方程x2＋(c－1)x＋(c2－c)＝0的两个不等的实根，于是Δ＝(c－1)2－4(c2－c)＝－3c2＋2c＋1>0，解得－<c<1，-7-\n又由a＋b＝1－c>2c，得c<，∴－<c<，即－<1－(a＋b)<，∴<a＋b<.10．求证：≤＋.(提示：|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时取等号)证明 设f(x)＝(x≥0)，由|a＋b|≤|a|＋|b|，又f(x)在[0，＋∞)上是一个单调递增函数，所以有f(|a＋b|)≤f(|a|＋|b|)，所以≤＝＋≤＋.即原式得证．11．求值cos5°＋cos77°＋cos149°＋cos221°＋cos293°.解 以单位长1为边长作正五边形A1A2A3A4A5，且与x轴正方向夹角为5°.由正五边形内角108°，得x轴正方向逆时针转到，，，的角分别为77°，149°，221°，293°.∵＋＋＋＋＝0，又因为和向量的投影等于各个向量投影的和，∴，，，，在x轴上投影的和为0，即||cos5°＋||cos77°＋||cos149°＋||cos221°＋||cos293°＝0，∴cos5°＋cos77°＋cos149°＋cos221°＋cos293°＝0.12.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝4Sn＋4n＋1，n∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；-7-\n(2)记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，(Tn＋)k≥3n－6恒成立，求实数k的取值范围．解 (1)当n≥2时，由题设知4Sn－1＝a－4(n－1)－1，∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，∴a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，∵an>0，∴an＋1＝an＋2.∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3，由条件可知，4a1＝a－5＝4，∴a1＝1，∵a2－a1＝3－1＝2，∴{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．∴等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1.∵等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，∴等比数列{bn}的通项公式为bn＝3n.(2)Tn＝＝＝，∴(＋)k≥3n－6对任意的n∈N*恒成立，∴k≥对任意的n∈N*恒成立，令cn＝，cn－cn－1＝－＝，当n≤3时，cn>cn－1；当n≥4时，cn<cn－1.∴(cn)max＝c3＝，∴k≥.-7-
