第4讲 整体处理问题的策略[方法精要] 整体思想就是在研究和解决数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简，同时又能培养学生思维的灵活性．所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法．题型一 整体处理问题的策略在函数中的应用例1 若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为________．破题切入点 本题是抽象函数的定义域问题，这类问题的解决要有整体意识，把2x－1作为一个整体，其取值范围与y＝f(x)中的x取值范围相同．解决这类问题要注意两个问题，①等范围代换，即将括号内的式子作为一个整体考虑，取值范围相同；②求定义域问题就是求自变量的取值范围．答案 [0,1)解析 由y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则－1≤2x－1<1，解得0≤x<1.所以f(2x－1)的定义域为[0,1)．题型二 整体处理问题的策略在立体几何中的应用例2 长方体的表面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的对角线长．破题切入点 要求长方体对角线长，只需求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可．解 设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为l，则由题意得由4(x＋y＋z)＝24，得x＋y＋z＝6，从而由长方体对角线性质得l＝＝＝＝5，所以长方体的对角线长为5.题型三 整体处理问题的策略在三角函数中的应用例3 已知2sinθ－cosθ＝1，求的值．破题切入点 设t＝可得sinθ、cosθ的方程，与已知条件2sinθ－cosθ＝1联立，即可用t的代数式表示sinθ、cosθ，再根据sin2θ＋cos2θ＝1求得t的值．解 设t＝，则(1－t)sinθ＋(1＋t)cosθ＝t－1，联立解得又因为sin2θ＋cos2θ＝1，-5-\n所以()2＋()2＝1，解得t＝0或t＝2.所以所求的值为0或2.总结提高 用整体思想解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时才能使复杂问题简单化，优化解题过程，提高解题的速度．强化整体意识，灵活选择恰当的整体思想方法，可以大大提高学习效率．1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．答案 (0，＋∞)解析 因为3x＋1>1，所以log2(3x＋1)>0.2．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式是________．答案 f(x)＝x2－1(x≥1)解析 令t＝＋1，则t≥1，且＝t－1，x＝(t－1)2，f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．3．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)的值为________．答案 解析 因为tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，所以tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝＝.4．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________．答案 f(x)＝－x＋解析 f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①把①中的x换成－x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，②由①②解得f(x)＝－x＋.5．长方体三个面的面积分别是2,6,9，则长方体的体积是________．答案 6解析 设长方体有公共顶点的三条棱长分别为a，b，c，-5-\n则所以(abc)2＝2×6×9，所以abc＝6.6．设a－a－＝m，则＝________.答案 m2＋2解析 因为a－a－＝m，所以(a－a－)2＝m2，所以a－2＋a－1＝m2，即a＋a－1＝m2＋2，所以＝a＋a－1＝m2＋2.7．已知函数f(2x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f[log3(x＋2)]的定义域________．答案 [－2,79]解析 因为函数f(2x)的定义域为[－1,2]，即－1≤x≤2，∴≤2x≤4，∴≤log3(x＋2)≤4，∴≤x＋2≤81，∴－2≤x≤79.8．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．答案 解析 因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－×2xy＝1，所以(2x＋y)2－()2≤1，当且仅当2x＝y时取等号．解得(2x＋y)2≤，即－≤2x＋y≤.所以2x＋y的最大值为.9．设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解 令f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，所以4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b，所以解得所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．-5-\n因为1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，所以5≤f(－2)≤10.10．求函数y＝－lg2x＋6lgx的定义域和值域．解 要使函数y＝－lg2x＋6lgx有意义，须满足x>0，即函数的定义域为(0，＋∞)．设lgx＝t，因为函数的定义域为(0，＋∞)，所以t∈R.∴y＝－t2＋6t－9＋9＝－(t－3)2＋9，∵t∈R，∴y≤9.∴函数的值域是(－∞，9]．11．已知cosα－sinα＝，且π<α<，求的值．解 因为cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝，又因为π<α<，所以sinα＋cosα＝－＝－＝－，所以＝＝＝＝－.12．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．解 (1)由题意得f(－x)＝f(x)，即log4＝2kx，从而4(2k＋1)x＝1在x∈R上恒成立，即k＝－.-5-\n(2)由题原方程化为＝4＝2x且a·2x－a>0，即：令2x＝t>0有函数y＝(1－a)t2＋at＋1的图象过定点(0,1)，(1,2)如图所示：若方程①仅有一正根，只有如图的三种情况，可见：a>1，即二次函数y＝(1－a)t2＋at＋1的开口向下，且该正根都大于1，满足不等式②，当二次函数y＝(1－a)t2＋at＋1的开口向上，只能是与x轴相切的时候，此时a<1且Δ＝0，即a＝－2－2也满足不等式②.综上：a>1或a＝－2－2.-5-
