第1讲 待定系数法的应用策略[方法精要] 对于某些数学问题，如果得知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数(或参数)来表示这种结果，然后利用已知条件通过变形与比较，根据恒等关系列出含有待定系数的方程(组)，解之即得待定的系数，进而使问题获解，这种常用的数学基本方法称之为“待定系数法”．待定系数法的实质是方程思想，这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程(组)求得未知数．运用待定系数法求解问题，其基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．题型一 用待定系数法求函数的解析式例1 已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x))＝4x2－20x＋25，求g(x)的表达式．破题切入点 一次函数的解析式具有固定的形式y＝kx＋b，求函数的解析式就是求出参数k，b，根据f(g(x))＝4x2－20x＋25，比较函数两边的系数即可解决问题．解 ∵g(x)为一次函数，设g(x)＝kx＋b(k>0)，∵f(g(x))＝4x2－20x＋25，∴f(kx＋b)＝4x2－20x＋25，即k2x2＋2kbx＋b2＝4x2－20x＋25，∴又k>0，解得k＝2，b＝－5，∴g(x)＝2x－5.题型二 用待定系数法求曲线方程例2 已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m<3)与椭圆E：＋＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，直线PF1与圆C相切．(1)求m的值与椭圆E的方程；(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围．破题切入点 圆过点A，将坐标代入就可以确定m的值，椭圆过点A，只要能求出椭圆的焦点坐标问题就解决了，这可以用直线PF1与圆C相切解决；由于点A、点P都是定点，故·仅仅依赖于椭圆上点的坐标，结合椭圆上点的坐标的关系解决．解 (1)点A代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5.∵m<3，∴m＝1.圆C：(x－1)2＋y2＝5.设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0.∵直线PF1与圆C相切，∴＝.解得k＝或k＝.-6-\n当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)．∵2a＝AF1＋AF2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2，∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)＝(1,3)，设Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18.则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36]．x＋3y的取值范围是[－6,6]．∴·＝x＋3y－6的取值范围是[－12,0]．题型三 待定系数法在数列中的应用例3 数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是不为零的常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成等比数列．(1)求c的值；(2)求{an}的通项公式；(3)求数列{}的前n项之和Tn.破题切入点 根据通项公式和a1，a2，a3成等比数列就可以列出c满足的关系式，即可求出c的值；根据公式an＋1＝an＋cn写出相邻项之间的关系式，然后利用累加法求出数列的通项公式；数列求和常用的方法是错位相减法，求和时防止“漏项”或“添项”．解 (1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2.∵c≠0，∴c＝2.(2)当n≥2时，由于a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1)c，所以an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c.又a1＝2，c＝2，故an＝2＋n(n－1)＝n2－n＋2(n＝2,3，…)．当n＝1时，上式也成立，所以an＝n2－n＋2(n＝1,2，…)．(3)令bn＝＝(n－1)()n，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn-6-\n＝0＋()2＋2()3＋3()4＋…＋(n－1)()n，①Tn＝0＋()3＋2()4＋…＋(n－2)()n＋(n－1)()n＋1，②①－②得：Tn＝1－(n＋1)()n.总结提高 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．要判断一个问题是否适用待定系数法求解，关键是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果有，就可以用待定系数法求解．例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．1．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)的值为________．答案 8解析 由已知得解得∴f(x)＝x2－4x＋3，∴f(－1)＝(－1)2－4(－1)＋3＝8.2．若焦点在x轴上的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是________．答案 x±y＝0解析 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则它的一个焦点到一条渐近线的距离为d，则d＝c，所以渐近线与x轴的夹角为30°，∴tan30°＝＝，因此其渐近线方程为x±y＝0.3．二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b的值是________．答案 －14解析 因为不等式的解集是(－，)，所以－，是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以解得所以a＋b＝－14.4．若f(x)＝ax2－，a为一个正的常数，且f[f()]＝－，则a＝________.答案 解析 ∵f()＝a·()2－＝2a－，∴f[f()]＝a·(2a－)2－＝－，-6-\n∴a·(2a－)2＝0.∵a为一个正常数，∴2a－＝0，∴a＝.5．函数f(x)＝ax2＋2x－3＋b(a>0，且a≠1)恒过定点(1,6)，则b的值是________．答案 5解析 由于函数恒过定点(1,6)，所以函数值与a无关，所以当x＝1时，x2＋2x－3＝0，即a0＋b＝6，所以b＝5.6．若向量a和b是不共线的向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的条件是________．答案 λ1λ2＝1解析 因为A，B，C三点共线，所以存在实数μ(μ≠0)，使得＝μ，所以λ1a＋b＝μ(a＋λ2b)，即λ1＝μ且1＝μλ2，所以λ1λ2＝1.7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是________．答案 (x－2)2＋(y－1)2＝1解析 根据题意设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1(a>0，b>0)，则b＝1且＝1，又因为a>0，解得a＝2，b＝1，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的方程为________．答案 ＋＝1解析 根据椭圆的定义，△ABF2的周长为4a，即4＝8，解得k＝2，故在这个椭圆中a＝2，b＝，故椭圆方程为＋＝1.9．若函数y＝a－bsinx(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4asinbx的最值和最小正周期．解 根据题意，sinx∈[－1,1]，因为b>0，所以sinx＝－1时函数有最大值，sinx＝1时函数有最小值，所以解得所以y＝－2sinx，所以函数y＝－2sinx的最大值是2，最小值是－2，周期是2π.10.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求直线方程．-6-\n解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.11．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，b4＝54，a1＋a2＋a3＝b2＋b3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)数列{cn}满足cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.解 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由b4＝b1q3，得q3＝＝27，从而q＝3，因此bn＝b1·qn－1＝2·3n－1，又a1＋a2＋a3＝3a2＝b2＋b3＝6＋18＝24，∴a2＝8，从而d＝a2－a1＝6，故an＝a1＋(n－1)·6＝6n－4.(2)cn＝anbn＝4·(3n－2)·3n－1，令Tn＝1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n－5)·3n－2＋(3n－2)·3n－1.3Tn＝1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n－5)·3n－1＋(3n－2)·3n.两式相减得－2Tn＝1＋3×31＋3×32＋3×33＋…＋3×3n－1－(3n－2)·3n＝1＋3×－(3n－2)·3n＝1＋－(3n－2)·3n，∴Tn＝＋，故Sn＝4Tn＝7＋(6n－7)·3n.12．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．(1)求双曲线的离心率；(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解 (1)设OA＝m－d，AB＝m，OB＝m＋d，由勾股定理可得：(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，得：d＝m，tan∠AOF＝，tan∠AOB＝tan2∠AOF＝＝，-6-\n由倍角公式：＝，解得＝，则离心率e＝.(2)过F直线方程为y＝－(x－c)与双曲线方程－＝1联立，将a＝2b，c＝b代入，化简有x2－x＋21＝0.4＝|x1－x2|＝，将数值代入，有4＝，解得b＝3，最后求得双曲线方程为－＝1.-6-
