第10讲 关于计算过程的再优化[方法精要] 中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、概率、统计的初步计算等．《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算．运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理．计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提．高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查．因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要．提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手：1．培养良好的审题习惯．2．培养认真计算的习惯．3．培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，三角函数中的辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)等等．4．加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练．5．提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论．6．增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的．题型一 化繁为简，优化计算过程例1 过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．破题切入点 本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程x＝my＋，表示出△AOB的面积，然后探讨面积最大时m的取值，得到直线的斜率．答案 －解析 由y＝得，x2＋y2＝1(y≥0)，设直线方程为x＝my＋，m<0(m≥0不合题意)代入x2＋y2＝1(y≥0)，整理得，(1＋m2)y2＋2my＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，则△AOB的面积为×|y1－y2|＝|y1－y2|，-8-\n因为|y1－y2|＝＝＝＝＝≤＝，当且仅当＝，即m2－1＝2，m＝－时取等号．此时直线方程为x＝－y＋，即y＝－x＋，所以直线的斜率为－.题型二 运用概念、性质等优化计算过程例2 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．破题切入点 由抛物线的定义解题．答案 y2＝3x解析 如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，AF＝AA1，BF＝BB1，∵BC＝2BF，∴BC＝2BB1，∴∠BCB1＝30°，∴∠A1AF＝60°.连结A1F，则△A1AF为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则NF＝A1F1＝AA1＝AF，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.-8-\n题型三 代数运算中加强“形”的应用，优化计算过程例3 设b>0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，an≤＋1.破题切入点 结合题目中an的表达式可知，需要构造an新的形式＝＋·，得到新的数列，根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成．(1)解 由a1＝b>0，知an＝>0，＝＋·.令An＝，A1＝，当n≥2时，An＝＋An－1＝＋＋…＋＋A1＝＋＋…＋＋.①当b≠2时，An＝＝，②当b＝2时，An＝.综上，an＝(2)证明 当b≠2时，(2n＋1＋bn＋1)＝(2n＋1＋bn＋1)(bn－1＋2bn－2＋…＋2n－1)＝2n＋1bn－1＋2n＋2bn－2＋…＋22n＋b2n＋2b2n－1＋…＋2n－1bn＋1＝2nbn(＋＋…＋＋＋＋…＋)>2nbn(2＋2＋…＋2)，＝2n·2nbn＝n·2n＋1bn，∴an＝<＋1.当b＝2时，an＝2＝＋1.综上所述an≤＋1.-8-\n总结提高 数学学习最重要的是创造能力，而解题则是培养学生创造能力的最好手段．通过解题，可以提高运算求解能力，锻炼应付各种复杂情况的机智，以及掌握克服各种困难所需要的若干常规方法和技巧．因此平时练习中应注重学生运算求解能力的训练，运算求解能力提高了，解题水平就可以提高．1．已知函数f(x)＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是________．答案 0≤m≤4解析 根据题意mx2＋mx＋1≥0(x∈R)恒成立，当m＝0时，满足不等式；当m≠0时，须满足解得0<m≤4，综上0≤m≤4.2．已知函数f(x－)＝x2＋，则f(3)的值为________．答案 11解析 ∵f(x－)＝(x－)2＋2，∴f(3)＝9＋2＝11.3．定义运算：(aD○＋b)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于x的不等式(aD○＋b)⊗x<0的解集为{x|1<x<2}，则关于x的不等式(bD○＋a)⊗x<0的解集为________．答案 ∪(1，＋∞)解析 1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，1＋2＝－，1×2＝，解得由(－3D○＋1)⊗x＝－3x2＋x＋2<0，得3x2－x－2>0，解得x<－或x>1.4.已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值与0的大小关系为________．答案 f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0解析 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)是R上的增函数，所以当x>0，时有f(x)>f(0)＝0，当x<0时有f(x)<f(0)＝0，因为a3>0，所以有f(a3)>0.因为数列{an}是等差数列，所以＝a3>0⇒a1＋a5>0⇒a1>－a5⇒f(a1)>f(－a5)．又f(－a5)＝－f(a5)，所以f(a1)＋f(a5)>0，即有f(a1)＋f(a3)＋f(a5)＝[f(a1)＋f(a5)]＋f(a3)>0.5．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，则b＝________.答案 4解析 在△ABC中，sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有a·＝3··c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，则4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍)．6．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，若P(2,2)为AB的中点，则直线AB的方程为________．答案 x－y＝0-8-\n解析 ∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，∴∴y－y＝4x2－4x1，即＝.因为P(2,2)为AB的中点，所以y2＋y1＝4，所以直线AB的斜率k＝＝＝1，所以直线AB的方程为x－y＝0.7．抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．答案 [－2，]解析 易知切线方程为：y＝2x－1，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A(0,0)，B(，0)，C(0，－1)．易知过C点时有最小值－2，过B点时有最大值.8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已有A＝，bsin(＋C)－csin(＋B)＝a.(1)求证：B－C＝；(2)若a＝，求△ABC的面积．(1)证明 由bsin(＋C)－csin(＋B)＝a，应用正弦定理，得sinBsin(＋C)－sinCsin(＋B)＝sinA，sinB(sinC＋cosC)－sinC(sinB＋cosB)＝，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.由于0<B，C<π，从而B－C＝.(2)解 B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝sinsin＝cossin＝.9．已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤-8-\n时，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有的θ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．解 ∵f(x)在R上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在R上为增函数，且f(0)＝0.由题设条件可得，f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)．∵f(x)在R上为增函数，∴cos2θ－3>2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ＋2m－2>0.令cosθ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1.于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－mt＋2m－2>0恒成立．∴t2－2>m(t－2)，即m>恒成立．又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，∴m>4－2，∴存在实数m满足题设的条件，即m>4－2.10.已知双曲线－＝1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且·＝0，求＋的值．解 (1)因为e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，∵双曲线方程为－＝1，即3x2－y2＝3a2，∵点M(，)在双曲线上，∴15－3＝3a2，∴a2＝4，所以所求双曲线方程为－＝1.(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立－＝1得∴|OP|2＝x2＋y2＝.-8-\n∵·＝0，∴直线OQ的方程为y＝－x，同理可得|OQ|2＝＝，∴＋＝＝＝.11．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解 (1)方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆．设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由＝，解得k2＝3，所以kmax＝，kmin＝－.即的最大值为，最小值为－.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，转化为求直线y＝x＋b的截距的最值，圆心到直线的距离≤，解得－2－≤b≤－2＋，所以y－x的最大值和最小值分别为－2＋和－2－.(3)x2＋y2是圆C上点与原点O的距离的平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.12．已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．(1)解 由f(x)＝xlnx，x>0，得f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.-8-\n当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<，f(x)min＝f()＝－；②当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt.所以f(x)min＝.(2)解 2xlnx≥－x2＋ax－3，x∈(0，＋∞)，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝，①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.即a≤4.(3)证明 问题等价于证明xlnx>－(x∈(0，＋∞))．由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到，设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易知m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到．从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．-8-
