第3讲 换元法在解题中的应用[方法精要] 一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法称为换元法．某些数学问题通过这种换元，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式覆盖着的实质，发现解题途径．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．换元法又称辅助元素法、变量代换法，其特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式．高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等．换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用．题型一 换元法求函数的解析式例1 已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)．破题切入点 通过引入参数，令1－cosx＝t，将原式转化为含有t的式子，从而得到函数f(x)的表达式，特别注意写出函数f(x)的定义域．解 令1－cosx＝t，则t∈[0,2]，所以cosx＝1－t，所以f(t)＝sin2x＝1－cos2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，所以f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．题型二 换元法在不等式中的应用例2 已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤3.破题切入点 换元法在不等式中的应用主要体现在不等式的证明中，把原不等式中的参数用某一个或几个量表示，然后利用取值范围进行比较．证明 设＋＋＝k，再设＝＋t1，＝＋t2，＝＋t3，其中t1＋t2＋t3＝0，∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1＝(＋t1)2＋(＋t2)2＋(＋t3)2，即6＝＋k(t1＋t2＋t3)＋t＋t＋t＝＋(t＋t＋t)，∴6≥，解得k≤3，∴＋＋≤3.题型三 换元法在三角函数中的应用例3 已知函数y＝2＋2sinxcosx＋sinx＋cosx，x∈[0，]，求函数的最大值和最小值．-5-\n破题切入点 题目中的未知量较多，解题时选择适当的三角函数式作为辅助未知量，可以利用正弦与余弦之间的关系，设sinx＋cosx＝t，则2sinxcosx＝t2－1，把题目中较多的未知量通过换元用一个未知量表示，并根据这个未知量的范围解决最值问题．解 令sinx＋cosx＝t，因为x∈[0，]，所以t∈[1，]，由(sinx＋cosx)2＝t2得2sinxcosx＝t2－1，所以原函数变为y＝t2＋t＋1，t∈[1，]，因为y＝t2＋t＋1的对称轴是t＝－，所以函数y＝t2＋t＋1在t∈[1，]上单调递增．所以t＝时函数有最大值ymax＝()2＋＋1＝3＋；t＝1时函数有最小值ymin＝3.总结提高 换元法不仅是重要的解题方法，也是解高考题的热点方法之一，掌握它的关键在于通过观察、联想发现构造出变换式，常见的基本换元形式有等式代换、三角代换、均值代换、和差代换等．1．已知f()＝2x，则函数f(x)的解析式是________．答案 f(x)＝2－2x2(x≥0)解析 令＝t，t≥0，则x＝1－t2，所以f(t)＝2－2t2(t≥0)．所以f(x)＝2－2x2(x≥0)．2．已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝________.答案 3解析 因为log210与lg2互为倒数，所以lg(log210)与lg(lg2)互为相反数．不妨令lg(log210)＝x，则lg(lg2)＝－x，而f(x)＋f(－x)＝ax3＋bsinx＋4＋a(－x)3＋bsin(－x)＋4＝8，故f(－x)＝8－f(x)＝8－5＝3.3．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是________．答案 [2，]解析 令t＝f(x)，则t∈[，3]，则F(x)＝f(x)＋可化为y＝t＋，t∈[，3]，易知，当t＝1时，y有最小值2，当t＝3时，y有最大值.故函数F(x)的值域为[2，]．4．函数f(cosx)＝cos2x－3cosx＋2的最小值为________．-5-\n答案 0解析 设t＝cosx，则f(t)＝t2－3t＋2，t∈[－1,1]，所以有f(t)＝(t－)2－.结合二次函数的单调性，可知当t＝1时，函数f(t)有最小值即为0.5．如果f()＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝________.答案 解析 令t＝，得x＝，∴f(t)＝＝，∴f(x)＝.6．若x是三角形的最小内角，则函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的最大值是________．答案 ＋解析 由0<x≤，令t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，而<x＋≤π，得1<t≤.又t2＝1＋2sinxcosx，得sinxcosx＝，得y＝t＋＝(t＋1)2－1，有1＋0<y≤＋＝＋.所以y的最大值为＋.7．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值为________．答案 2008解析 令t＝3x，则x＝log3t，f(t)＝4log3tlog23＋233＝4log23＋233＝4log2t＋233，所以f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋3＋…＋8)＋8×233＝144＋1864＝2008.8．函数y＝x＋4＋的最小值是________．答案 1解析 由9－x2≥0得－3≤x≤3，-5-\n故可令x＝3sinθ(θ∈[－，])，则y＝3sinθ＋4＋＝3sinθ＋3cosθ＋4＝3sin(θ＋)＋4.又θ＋∈[－，]，所以sin(θ＋)∈[－，1]，所以y∈[1,3＋4]．9．若cos2x＋2msinx－<0恒成立，试求实数m的取值范围．解 原式化为1－sin2x＋2msinx－<0，则sin2x－2msinx＋>0，即(sinx－m)2－m2＋>0恒成立．令t＝sinx，f(t)＝(t－m)2－m2＋(－1≤t≤1)．若m<－1，则当t＝－1时，f(t)有最小值f(－1)＝2m＋，所以2m＋>0，即m>－，所以－<m<1.若m>1，则当t＝1时，f(t)有最小值f(1)＝－2m，所以－2m>0，即m<，所以1<m<.当－1≤m≤1时，f(t)有最小值f(m)＝－m2.所以－m2>0.所以－1≤m≤1.综上，m的取值范围是－<m<.10．在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．-5-\n解 根据分析，令＝cosθ，y＝sinθ，则x＝cosθ，故可设动点P的坐标为(cosθ，sinθ)，其中0≤θ<2π.因此S＝x＋y＝cosθ＋sinθ＝2(cosθ＋sinθ)＝2sin(θ＋)．所以当θ＝时，S取最大值2.11．若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．解 方法一 设2x＝t，则函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1化为g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正实数根．(1)当方程①有两个正实根时，a应满足解得－1<a≤2－2；(2)方程①有一正根一负根时，只需t1·t2＝a＋1<0，即a<－1；(3)方程①有一根为0时，a＝－1，此时方程①的另一根为1.综上可知a≤2－2.方法二 令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．(1)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a应满足解得－1<a≤2－2.(2)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a应满足g(0)＝a＋1<0，解得a<－1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此时可以求得函数g(t)的另一个零点是1.综合(1)(2)(3)知a≤2－2.-5-
