加练课3直线的综合应用1.光线从点A(-3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是()A.52B.25C.105D.510答案：D2.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线的方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0答案：D3.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A，B，则|AB|的值为()A.895B.175C.135D.115答案：C4.（2021四川高二期中联考）直线2y-x+1=0关于直线y-x+3=0对称的直线的方程是()A.2x-y-8=0B.2x-y-10=0C.2x+y-12=0D.2x+y-10=0答案：A5.若直线l1：y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称，则直线l2恒过定点()A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)答案：C解析：l1：kx=x+y-2，由x=0,x+y-2=0得l1恒过定点(0,2)，记为点P，∴与l1关于直线y=x+1对称的直线l2也必恒过一定点，记为点Q，且点P和Q也关于直线y=x+1对称.设Q(m,n)，则n+22=m2+1,n-2m×1=-1⇒m=1,n=1,即Q(1,1)，∴直线l2恒过定点(1,1).6
6.已知a＞0,b＞0,直线l1：x+(a-4)y+1=0，l2：2bx+y-2=0，且l1⊥l2，则1a+1+12b的最小值为()A.2B.4C.23D.45答案：D7.（2021黑龙江肇东四中高二期中）无论m取什么实数，直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点.答案：(2,3)8.如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，若超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李质量x（千克）的关系用直线AB的方程表示.（1）求直线AB的方程；（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？答案：（1）由题图知点A(60,6),B(80,10)，由两点式得x-6080-60=y-610-6，即直线AB的方程是x-5y-30=0.（2）依题意，令y=0，解得x=30，即旅客最多可免费携带30千克的行李.素养提升练9.（多选题）在平面直角坐标系中，定义两点P(x1,y1),Q(x2,y2)间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|，则下列命题正确的是()A.若P,Q是x轴上的两点，则d(P,Q)=|x1-x2|B.若P(1,3),Q(sin2α,cos2α)(α∈R)，则d(P,Q)为定值C.原点O到直线x-y+1=0上任一点P的“直角距离”d(P,O)的最小值为22D.设A(x,y)且x∈Z，y∈Z，若点A在过P(1,3)与Q(5,7)的直线上，且点A到点P与点A到点Q的“直角距离”之和等于8，则满足条件的点A只有6个答案：A;B解析：A中命题正确，若P,Q是x轴上的两点，则y1=y2=0，所以d(P,Q)=|x1-x2|；B中命题正确，已知P(1,3),Q(sin2α,cos2α)(α∈R)，则d(P,Q)=|1-sin2α|+|3-cos2α|=4-(sin2α+cos2α)=3，为定值；6
C中命题错误，设P(x,y)，因为O(0,0)，所以d(O,P)=|x|+|y|=|x|+|x+1|，该式表示数轴上的x到-1和0的距离之和，其最小值为1；D中命题错误，过P(1,3)与Q(5,7)的直线的方程为y=x+2，若点A到点P与点A到点Q的“直角距离”之和等于8，则|x-1|+|y-3|+|x-5|+|y-7|=2|x-1|+2|x-5|=8，所以|x-1|+|x-5|=4，所以1≤x≤5,x∈Z，所以x=1,2,3,4,5，所以满足条件的点A只有5个.10.两点A(a+2,b+2)和B（b-a,-b）关于直线4x+3y=11对称，则a,b的值为()A.-1，2B.4，-2C.2，4D.4，2答案：D解析：∵A，B关于直线4x+3y=11对称，∴kAB=34，即b+2-(-b)a+2-(b-a)=34，①且AB的中点(b+22,1)在已知直线上，代入得2(b+2)+3=11，②联立①②，解得a=4,b=2.11.（2021山东临沂高二期末）如图，光线从P(a,0)(a＞0)出发，经过直线l：x-3y=0反射到Q(b,0)，该光线又在Q点被x轴反射，若反射光线恰与直线l平行，且b≥13，则实数a的最小值是.答案：5解析：如图，设P关于直线l的对称点为M，则M一定在第一次的反射光线所在的直线上，设M关于x轴的对称点为N，则N必在第二次的反射光线所在的直线上.6
设M(x,y)，则yx-a=-3,a+x2-3×y2=0,解得x=45a,y=35a,即M(45a,35a)，∴N(45a,-35a)，由题意得kQN=-35a45a-b=13，整理得b=135a，∵b≥13，∴135a≥13，∴a≥5.12.（2021湖北部分重点中学高二联考）设直线l：3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0(λ∈R).（1）求证：直线l恒过定点M，并求出定点M的坐标；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（3）设直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，求当|MA||MB|（点M为（1）中的定点）取得最小值时，直线l的方程.答案：（1）证明：由3x+4y-19=0,2x+y-6=0,解得x=1,y=4,则定点M的坐标为(1,4).（2）因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以当直线l过原点时，-19-6λ=0，则λ=-196，此时直线l的方程为4x-y=0；当直线l不过原点时，将直线l的方程化为(3+2λ)x+(4+λ)y-19-6λ=0，则3+2λ=4+λ，解得λ=1，所以直线l的方程为x+y-5=0.综上，直线l的方程为4x-y=0或x+y-5=0.（3）设A(a,0),B(0,b)(a＞0,b＞0)，则直线l的方程为xa+yb=1，又直线l过点M(1,4)，所以1a+4b=1，所以|MA||MB|=AM⋅MB=(1-a,4)⋅(-1,b-4)=a+4b-17=(a+4b)⋅(1a+4b)-17=4ba+4ab≥24ba⋅4ab=8，当且仅当a=b=5时等号成立，此时直线l的方程为x+y-5=0.创新拓展练13.如图，已知直线l1：x=0，l2：3x-4y=0，点A的坐标为(1,a)(a＞34).设过点A的直线l的斜率为k，且直线l与l1,l2分别交于点M,N（M,N的纵坐标均为正数）.6
（1）求实数k的取值范围；（2）设a=1，求△MON面积的最小值；（3）是否存在实数a，使得1|OM|+1|ON|的值与k无关？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.命题分析本题考查了两直线的交点问题、三角形面积的最小值以及直线中的存在性问题.答题要领（1）由题意知直线l的方程为y-a=k(x-1)，求出交点M,N的坐标后，由纵坐标为正可得k的取值范围.（2）在（1）的基础上，求出|OM|,|ON|,sin∠MON后，可得△MON的面积，令t=3-4k,t＞0，换元后，由基本不等式可得最小值.（3）在（1）的基础上，求出1|OM|+1|ON|，无论k为何值，此式为常数，分析此式可得结论.详细解析（1）由题意知直线l的方程为y-a=k(x-1)，令x=0，得y=a-k，由y=a-k＞0得k＜a,∵a＞34,∴k≤34，由y-a=k(x-1),3x-4y=0得x=4k-4a4k-3,y=3k-3a4k-3（4k-3=0时，此方程组无解，不符合题意），由y=3k-3a4k-3＞0得k＞a或k＜34.综上，k的取值范围是(-∞,34).（2）由（1）得M(0,1-k),N(4k-44k-3,3k-34k-3),则|OM|=1-k,|ON|=5(k-1)4k-3，设直线l2的倾斜角为θ，则tanθ=34,cosθ=45，∴sin∠MON=sin(π2-θ)=cosθ=45，∴S△MON=12×(1-k)×5(k-1)4k-3×45=2(1-k)23-4k，令t=3-4k，则t＞0,k=3-t4，6
∴S△MON=2(1-3-t4)2t=18(t+1t+2)≥18×(2t×1t+2)=12，当且仅当t=1t，即t=1,k=12时等号成立，∴S△MON的最小值是12.（3）假设存在满足题意的a，由（1）知|OM|=a-k,|ON|=5(k-a)4k-3=5(a-k)3-4k，∴1|OM|+1|ON|=1a-k+3-4k5(a-k)=8-4k5(a-k)，∵此式与k的值无关，∴8a=-4-1，解得a=2，∴当a=2时，1|OM|+1|ON|的值与k无关.解题感悟解题方法没有特殊之处，但每一部分均用到了其他的知识，如用基本不等式求最小值等.6
