双曲线的简单几何性质1.（多选题）（2020江苏盐城东台中学高二段测）下列关于双曲线x26-y23=1的判断正确的是()A.渐近线方程为2x±y=0B.焦点坐标为(±3,0)C.实轴长为6D.顶点坐标为(±6,0)答案：B;D2.（2021山东新泰第一中学高二第二次质检）经过点P(2,-2)且与双曲线C:x22-y2=1有相同渐近线的双曲线的方程是()A.x24-y22=1B.y22-x24=1C.x22-y24=1D.y24-x22=1答案：B3.（2021北京平谷高二期末）已知椭圆x2m+y29=1(m＞9)的右顶点A到双曲线x26-y24=1的一条渐近线的距离为6，那么m=()A.10B.15C.24D.225答案：B4.（2021天津第二十中学高二期中）若点(3,0)到双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为()A.3B.62C.3或62D.33答案：A5.（多选题）若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y=±43x，则下列结论正确的是()A.C的方程为x29-y216=1B.C的离心率为54C.焦点到渐近线的距离为3D.|PF|的最小值为2答案：A;D5
6.（2021北京平谷第五中学高二期中）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左焦点为F1(-2,0)，右焦点为F2(2,0)，点P为双曲线右支上的一点，且|F1F2|=2|PF2|，△PF1F2的周长为10，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±3xB.y=±33xC.y=±2xD.y=±12x答案：A7.（2021辽宁六校协作体高二期中）已知双曲线x2a2-y22=1的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为()A.233或2B.263C.3D.2或263答案：A8.（2021北京第五十五中学高二月考）已知双曲线x2a2-y2=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=12x，则a=；离心率e=.答案：2;529.（2021北京房山高二期末）已知曲线C:x2m+y2n=1(mn≠0)，给出下列四个命题：①曲线C过坐标原点；②若m=n＞0，则C是圆，其半径为m；③若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上；④若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-nmx.其中所有真命题的序号是.答案：③④解析：将原点坐标(0,0)代入曲线C:x2m+y2n=1(mn≠0)的方程，显然不成立，故曲线C不过坐标原点，故①是假命题；若m=n＞0，曲线C:x2m+y2n=1(mn≠0)的方程为x2+y2=m=(m)2，对应曲线是以原点为圆心，半径为m的圆，故②是假命题；若m＞n＞0，则曲线C:x2m+y2n=1(mn≠0)表示长半轴长a=m，短半轴长b=n，焦点在x轴上的椭圆，故③是真命题；5
若mn＜0，曲线C:x2m+y2n=1(mn≠0)表示双曲线，渐近线方程为x2m+y2n=0，即y=±-nmx，故④是真命题.素养提升练10.（多选题）（2021辽宁沈阳郊联体高二期中）已知方程x23-k-y2k-5=1(k∈Z)表示双曲线，则此时()A.双曲线的离心率为2B.双曲线的渐近线方程为x±y=0C.双曲线的一个焦点坐标为(2,0)D.双曲线的焦点到渐近线的距离为1答案：A;B;D解析：因为方程x23-k-y2k-5=1(k∈Z)表示双曲线，所以(3-k)(k-5)＞0且k∈Z，解得3<k<5且k∈Z，所以k=4，所以双曲线的方程为y2-x2=1，可得a=1，b=1，c=a2+b2=2，所以双曲线的离心率e=ca=2，所以A正确；双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，所以B正确；因为双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0,-2)和(0,2)，所以C不正确；由点到直线的距离公式可得焦点(0,2)到一条渐近线x+y=0的距离为|2|12+12=1，所以D正确.11.（2020山东聊城高二期末）已知直线y=kx与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右两支分别交于A、B两点，F为双曲线的右焦点，其中∠ABF=π2，∠BAF=π6，则双曲线C的离心率为()A.2B.3+1C.3D.7答案：D解析：取左焦点为F1，连接AF1,BF1，如图所示，5
由∠ABF=π2,∠BAF=π6，易知|BF1|=|AF|=2|BF|，由双曲线的定义知|BF1|-|BF|=2a，两式联立可得|BF|=2a，则|AF|=4a，|AB|=23a，由双曲线的对称性知|OA|=|OB|=12|AB|=3a，在Rt△OBF中，|OF|=c，|BF|=2a，∴|OB|2+|BF|2=|OF|2，即3a2+4a2=c2，即c=7a，∴e=ca=7.12.（2021山东日照五莲高二期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M,若|F1O|=2|OM|（O为坐标原点），PF1⊥PF2，则双曲线C的渐近线方程为.答案：y=±2x解析：设F1(-c,0)，F2(c,0)，由|F1O|=2|OM|，△OMF1与△PF2F1相似得|F1O||OM|=|PF1||PF2|=2，即|PF1|=2|PF2|，因为|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|=4a，|PF2|=2a，由勾股定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，所以4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，b2=c2-a2=4a2，所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.13.（2021辽宁本溪重点高中高二月考）已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点.若双曲线C与圆O:x2+y2=a2+b2的一个交点为A(x0,y0)(x0＜0,y0＞0)，且双曲线C的渐近线为y=±26x，则cos∠AF2F1=.答案：45解析：因为a2+b2=c2，所以圆O:x2+y2=c2，所以|F1F2|为圆O的直径，故|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，5
又双曲线C的渐近线为y=±26x，则ba=26，且c2=a2+b2所以c=5a，设|AF2|=x，则|AF1|=x-2a，代入得x2+(x-2a)2=100a2，解得|AF2|=8a（负值舍去），所以cos∠AF2F1=|AF2||F1F2|=45.5
