综合拔高练五年高考练考点1 双曲线的标准方程及其应用1.(2020浙江,8,4分,)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34-x2图象上的点,则|OP|=( ) A.222B.4105C.7D.102.(2020课标全国Ⅰ,11,5分,)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )A.72B.3C.52D.2考点2 双曲线的几何性质3.(2019课标全国Ⅲ,10,5分,)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )A.324B.322C.22D.324.(2020课标全国Ⅱ,8,5分,)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )A.4B.8C.16D.325.(2018课标全国Ⅲ,11,5分,)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为( )A.5B.2C.3D.26.(2020课标全国Ⅲ理,11,5分,)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )A.1B.2C.4D.87.(2019课标全国Ⅱ,11,5分,)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )A.2B.3C.2D.58.(2018课标全国Ⅰ,11,5分,)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )11
A.32B.3C.23D.49.(2020课标全国Ⅲ文,14,5分,)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为 . 10.(2020北京,12,5分,)已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近线的距离是 . 11.(2019课标全国Ⅰ,16,5分,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1B·F2B=0,则C的离心率为 . 12.(2018北京,14,5分,)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 . 11
考点3 直线与双曲线的位置关系13.(2018天津,7,5分,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=1三年模拟练应用实践1.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)过点(2,-2)且与双曲线x22-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是( ) A.y22-x24=1B.x24-y22=1C.y24-x22=1D.x22-y24=12.(2020山东聊城高二上期末,)已知直线y=kx与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两支分别交于A,B两点,F为双曲线的右焦点,其中∠ABF=π2,∠BAF=π6,则双曲线C的离心率e=( )A.2B.3+1C.3D.73.(2020湖北武汉实验学校、武汉一中等六校高二上期末联考,)设F1,F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P(x0,2a)为双曲线上一点,若△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直,则双曲线的离心率为( )A.62B.52C.6D.54.(多选)(2021江苏南京金陵中学高二上月考,)已知P是双曲线C:x24-y2m=1上任意一点,A,B分别是双曲线的左、右顶点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|≥t恒成立,且实数t的最大值为1,则下列说法正确的是( )A.双曲线的方程为x24-y2=1B.双曲线的离心率为311
C.函数y=loga(x+1+5)(a>0,a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点D.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若△PF1F2的面积为3,则∠PF1F2=π35.(2020河北石家庄二中高二上期中,)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)是等轴双曲线,点P为其右支上一动点,若点P到直线x-y+1=0的距离大于m恒成立,则实数m的最大值为 . 6.(2020北京清华大学附中高二上,)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)及双曲线C2:x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)均以(2,0)为右焦点且都经过点(2,3),则椭圆C1与双曲线C2的离心率之比为 . 7.(2021新高考八省(市)1月联考,)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.(1)求C的离心率;(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.迁移创新8.()已知A,B,C为某信号(该信号的传播速度为1千米/秒)的三个接收站,其中A,B相距600千米,且B在A的正东方向,D为AB的中点;B,C相距6003千米,且C在B的北偏东60°方向.现欲选址兴建该信号的发射站T,因城市规划选址地点有限制,选址时发现,在T站发射信号时,A站总比B站要迟2003秒才能接收到信号.(A,B,C,T站视为同一平面上的点,假定信号发射、传播及接收正常)(1)若T站位置选在直线DC上,求T站到直线AB的距离;(2)当T站选在某T0位置发射信号时,某监测员记录C站比A站迟800秒接收到该信号,请问该监测员的记录是否有误?请说明理由.11
答案全解全析五年高考练1.D 由|PA|-|PB|=2<4,知点P在双曲线的右支上,设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,x≥1),则a=1,c=2,所以b2=3,所以双曲线的方程为x2-y23=1(x≥1).设P(x,y),把y=34-x2代入双曲线的方程,得x2=134,y2=274,所以|OP|=x2+y2=10.故选D.2.B 不妨设F1为左焦点,在双曲线C中,a=1,b=3,故c=2,故|F1F2|=2c=4.在△PF1F2中,|OP|=12|F1F2|=2,∴△PF1F2为直角三角形.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m2+n2=(2c)2,|m-n|=2a,可得mn=6,∴S△PF1F2=12·mn=3.故选B.3.A 由双曲线的方程为x24-y22=1,知a=2,b=2,故c=a2+b2=6,渐近线的方程为y=±22x.不妨设点P在第一象限,作PQ⊥OF于Q,如图,∵|PO|=|PF|,∴Q为OF的中点,∴|OQ|=62.令∠POF=θ,由tanθ=22得|PQ|=|OQ|·tanθ=62×22=32.∴△PFO的面积S=12|OF|·|PQ|=12×6×32=324.故选A.4.B 直线x=a与双曲线C的两条渐近线y=±bax分别交于D,E两点,则|DE|=|yD-yE|=2b,所以S△ODE=12·a·2b=ab,即ab=8.所以c2=a2+b2≥2ab=16(当且仅当a=b时取等号),即cmin=4,所以双曲线的焦距2c的最小值为8,故选B.5.C 点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离|PF2|=bca-01+ba2=b,而|OF2|=c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定理可得|OP|=c2-b2=a,所以|PF1|=6|OP|=6a.在Rt△OPF2中,cos∠PF2O=|PF2||OF2|=bc,在△F1F2P中,cos∠PF2O=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|·|F1F2|11
=b2+4c2-6a22b·2c,所以bc=b2+4c2-6a24bc⇒3b2=4c2-6a2,则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得ca=3(负值舍去),即e=3.故选C.6.A 由题意可得||PF1|-|PF2||=2a,因为F1P⊥F2P,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,所以(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=4a2+2|PF1||PF2|=4c2,得|PF1||PF2|=2b2,故S△PF1F2=12|PF1||PF2|=b2=4,所以e=ca=c2a2=a2+b2a2=a2+4a2=5,解得a=1.7.A 如图,∵|PQ|=|OF|=c,∴PQ过点c2,0.∴Pc2,c2.又∵|OP|=a,∴a2=c22+c22=c22,∴ca2=2,∴e=ca=2.故选A.8.B 由双曲线C:x23-y2=1可知其渐近线方程为y=±33x,∴∠MOx=30°,∴∠MON=60°,不妨设∠OMN=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,∴|OM|=3,则在Rt△OMN中,|MN|=|OM|·tan∠MON=3.故选B.9.答案 3解析 由题意得ba=c2-a2a=e2-1=2,得e=3(负值舍去).11
10.答案 (3,0);3解析 因为双曲线C:x26-y23=1,所以c2=6+3=9,得c=3,所以双曲线C的右焦点的坐标为(3,0).易知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,所以点(3,0)到一条渐近线的距离为33=3.11.答案 2解析 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,∵F1B·F2B=0,∴F1B⊥F2B,∴点B在☉O:x2+y2=c2上,如图所示,不妨设点B在第一象限,由y=bax,x2+y2=c2,a2+b2=c2,x>0得点B(a,b),∵F1A=AB,∴点A为线段F1B的中点,∴Aa-c2,b2,将其代入y=-bax得b2=-ba×a-c2,解得c=2a,故e=ca=2.12.答案 3-1;2解析 如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M的两个焦点.∵直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=3x,∴nm=3.设|m|=k,则|n|=3k,则双曲线N的离心率e2=k2+(3k)2k=2.连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF1F2=30°.11
设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|=3c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(3+1)c=2a,∴椭圆M的离心率e1=ca=23+1=2(3-1)(3+1)(3-1)=3-1.13.C ∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴e2=1+b2a2=4,∴b2a2=3,即b2=3a2,∴c2=a2+b2=4a2,由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),∵b2a2=3,∴渐近线方程为y=±3x,则点A与点B到直线3x-y=0的距离分别为d1=|23a-3a|2=23-32a,d2=|23a+3a|2=23+32a,又∵d1+d2=6,∴23-32a+23+32a=6,解得a=3,∴b2=9.∴双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.三年模拟练应用实践1.A 因为所求双曲线与双曲线x22-y2=1有相同渐近线,所以设其方程为x22-y2=t(t≠0),因为点(2,-2)在双曲线上,所以222-(-2)2=t,解得t=-2,则所求双曲线方程为y22-x24=1.故选A.2.D 设双曲线的左焦点为F1,连接AF1,BF1,如图所示,由题意知∠ABF=π2,∠BAF=π6,且四边形AFBF1是平行四边形,易知BF1=AF=2BF,又由双曲线的定义知BF1-BF=2a,所以BF=2a,则AF=4a,AB=23a,由双曲线的对称性知OA=OB=12AB=3a,在Rt△OBF中,OB=3a,OF=c,BF=2a,11
OB2+BF2=OF2,即3a2+4a2=c2,所以c=7a,所以e=ca=7,故选D.3.A 设△PF1F2的重心和内心分别为G,I,且圆I与△PF1F2的三边F1F2,PF1,PF2分别切于点M,Q,N,由切线的性质可得|PN|=|PQ|,|F1Q|=|F1M|,|F2N|=|F2M|.不妨设点P(x0,2a)在第一象限内,∵G是△PF1F2的重心,O为F1F2的中点,∴|OG|=13|OP|,∴G点坐标为x03,2a3.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=|F1Q|-|F2N|=|F1M|-|F2M|,又|F1M|+|F2M|=2c,∴|F1M|=c+a,|F2M|=c-a,∴M为双曲线的右顶点.又I是△PF1F2的内心,∴IM⊥F1F2.设点I的坐标为(xI,yI),则xI=a.由题意得GI⊥x轴,∴x03=a,故x0=3a,∴点P的坐标为(3a,2a).∵点P在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,∴9a2a2-4a2b2=9-4a2b2=1,整理得b2a2=12,∴e=ca=1+b2a2=1+12=62.故选A.4.AC 由题意知A(-2,0),B(2,0),设P(x,y),y≠0,则x24-y2m=1,即m=4y2x2-4,k1=yx+2,k2=yx-2,所以k1k2=yx+2×yx-2=y2x2-4=m4,所以|k1|+|k2|≥2|k1|·|k2|=2m4=m,当且仅当|k1|=|k2|时,等号成立,又实数t的最大值为1,所以m=1,解得m=1,所以双曲线的方程为x24-y2=1,则a=2,b=1,c=5,所以双曲线的离心率e=ca=52,故A正确,B错误;双曲线的焦点为(±5,0),函数y=loga(x+1+5)(a>0,a≠1)的图象恒过双曲线的焦点(-5,0),故C正确;由△PF1F2的面积为3和双曲线的对称性可知,点P可能在双曲线的左支上,也可能在右支上,故D错误.故选AC.5.答案 2211
解析 依题意得a=b,则双曲线方程为x2-y2=a2,其渐近线方程为y=±x.设直线x-y=0与直线x-y+1=0的距离为d1,则d1=|1-0|12+(-1)2=22.设P到直线x-y+1=0的距离为d,则d>d1.∴d>m恒成立⇔d1≥m,即m≤22.故m的最大值为22.6.答案 1∶4解析 设P(2,3),左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-2,0),F2(2,0),所以PF2⊥F1F2.又因为|PF2|=3,|F1F2|=4,所以|PF1|=5,所以|PF1|+|PF2|=2a=8,则a=4.又|PF1|-|PF2|=2m=2,所以m=1.所以椭圆C1与双曲线C2的离心率之比为24∶21,即1∶4.7.解析 (1)当BF⊥AF时,|BF|=b2a,∵|AF|=|BF|,∴a+c=b2a,则a2+ac=c2-a2,故(e-2)(e+1)=0,所以e=2(e=-1舍去).(2)证明:由e=ca=2,得c=2a,故双曲线C的方程为x2a2-y23a2=1,设B(x0,y0),则tan∠BAF=y0x0+a,tan∠BFA=y0c-x0,则tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF=2y0x0+a1-y0x0+a2=2y0(x0+a)(x0+a)2-y02,因为B在双曲线C上,所以y02=3(x02-a2),则tan2∠BAF=2y0(x0+a)(x0+a)2-3(x02-a2)=2y0(x0+a)2(2a2-x02+ax0)=y0(x0+a)(a+x0)(2a-x0)=y02a-x0=y0c-x0=tan∠BFA,故∠BFA=2∠BAF.迁移创新11
8.信息提取 ①信号的传播速度为1千米/秒;②A、B相距600千米,且B在A的正东方向,D为AB的中点;③B,C相距6003千米,C在B的北偏东60°方向;④A站总比B站要迟2003秒才能接收到信号.数学建模 (1)以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,且以100千米为单位长度,建立平面直角坐标系,求出T的轨迹,与直线DC联立求出交点纵坐标的绝对值即为T站到直线AB的距离.(2)计算|BC|,从而当T,B,C三点共线时|TC|-|TA|取得最大值,求出最大值进而解决问题.解析 (1)以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,且以100千米为单位长度,建立平面直角坐标系,则|TA|-|TB|=23,所以T的轨迹是以A,B为焦点的双曲线x23-y26=1的右支.易得A(-3,0),B(3,0),C(12,33),kDC=34.故直线DC:y=34x.T站位置是直线DC与双曲线的交点,联立y=34x,x23-y26=1,解得|y|=35829.所以T站到直线AB的距离为3005829千米.(2)因为|TA|-|TB|=23,所以|TC|-|TA|=|TC|-(|TB|+23)=|TC|-|TB|-23≥|BC|-23=43,所以C站比A站最多迟4003秒接收到信号,而800>4003,所以记录有误.11
