2.2.1 椭圆的标准方程(二)一、基础过关1．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标为__________．2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2＝________.3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是________．4．曲线＋＝1与＋＝1(0<k<9)的关系说法正确的是________(填序号)．①有相等的焦距，相同的焦点；②有相等的焦距，不同的焦点；③有不相等的焦距，不同的焦点．5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且a＝2b，则该椭圆的标准方程是______________．6．设α∈，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则α的取值范围是________．7．椭圆＋＝1(a，b>0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，PF1＝，PF2＝.求椭圆C的方程．8．△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a>b>c，A，C的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．二、能力提升9．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆上，且·＝0，则|＋|＝________.10．已知A，B是圆F：2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为______________．11．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：-5-\n①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是__________．12．已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．13．P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．三、探究与拓展14．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当的平面直角坐标系，求以M，N为焦点，且经过点P的椭圆的方程．-5-\n答案1.2.3．椭圆4．②5.＋＝16.7．解 因为点P在椭圆C上，所以2a＝PF1＋PF2＝6，a＝3.在Rt△PF1F2中，F1F2＝＝2，故椭圆的半焦距c＝，从而b2＝a2－c2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.8．解 由已知得b＝2，又a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b＝4，即AB＋BC＝4，∴点B到定点A、C的距离之和为定值4，由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分，其中a′＝2，c′＝1.∴b′2＝3.又a>b>c，∴顶点B的轨迹方程为＋＝1(－2<x<0)．9．610．x2＋y2＝111．②③12．解 设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.∵M是线段PP′的中点，∴-5-\n把代入＋＝1，得＋＝1，即x2＋y2＝36，∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.13．解 由＝＋，又＋＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝，即P点坐标为，又P点在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1，∴Q的轨迹方程为＋＝1(a>b>0)．14．解 如图所示，以MN所在的直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，M(－c,0)，N(c,0)，P(x0，y0)．由tan∠PMN＝，tan∠PNx＝tan(π－∠MNP)＝2，得直线PM，PN的方程分别是y＝(x＋c)，y＝2(x－c)．联立解得 即点P.-5-\n又∵S△PMN＝MN·|y0|＝×2c×c＝c2，∴c2＝1，即c＝，∴点M，N，P.∴2a＝PM＋PN＝＋＝，即a＝.∴b2＝a2－c2＝－＝3.∴所求椭圆的方程为＋＝1.-5-
