2.2.1 函数的单调性(二)一、基础过关1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是________．2．函数y＝x＋的最小值为________．3．函数y＝的值域是________．4．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为________．5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值、最小值分别为______．6．函数f(x)＝的最大值是________．7．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．-6-\n8．已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．二、能力提升9．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．10．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)有最大值9，最小值－7，则a＝__________，b＝__________.11．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．12．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．-6-\n三、探究与拓展13．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．-6-\n答案1.2.3．(0,2]4．10、65．4、－46.7．解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，所以f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．8．解 (1)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)∵f(0)＝1,∴c＝1;∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即：2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵f(x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋，又∵∈[－1,1]，∴当x＝时，函数f(x)有最小值，当x＝－1时，f(x)有最大值，-6-\n即f(x)min＝f()＝，f(x)max＝f(－1)＝3.9．[2,4]10．－2 011．(－∞，－5]12．(1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)解 ∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，又f(x)在[，2]上单调递增，∴f＝，f(2)＝2.∴易得a＝.13．解 (1)∵当x>0，y>0时，f＝f(x)－f(y)，∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f，∵x2>x1>0.∴>1，∴f>0.∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，∵f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)，-6-\n知f＝f(16)－f(4)，∴f(16)＝2f(4)＝4，∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．-6-
