§2.2 椭 圆2．2.1 椭圆的标准方程(一)一、基础过关1．设F1，F2为定点，F1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝6，则动点M的轨迹是________．2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________．3．“1<m<3”是“方程＋＝1表示椭圆”的______________条件．4．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1∶PF2＝4∶3，则三角形PF1F2的面积等于________．5．焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为________________．6．方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．7.已知如图椭圆两焦点为F1、F2，且方程为x2＋y2＝1，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为______．8．求经过两点P1，P2的椭圆的标准方程．二、能力提升9．已知两椭圆ax2＋y2＝8与9x2＋25y2＝100的焦距相等，则a的值为________．10．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值．12．-5-\n如图，已知椭圆的方程为＋＝1，P点是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．三、探究与拓展13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持PA＋PB的值不变，求曲线E的方程．-5-\n答案1．线段 2．183．必要不充分4．24 5．＋y2＝1或x2＋＝16．0<m<7．68．解 方法一 ①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意，知⇒∵a2＝<＝b2，∴方程无解．②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意，知⇒故所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)．依题意，得⇒故所求椭圆的标准方程为＋＝1.9．9或解析 先将9x2＋25y2＝100化为标准方程＋＝1，∴焦点坐标为和，∴焦距为，ax2＋y2＝8⇒＋＝1，①若焦点在x轴上，则>8，∴0<a<1,2＝，解得a＝；②若焦点在y轴上，则0<<8，∴a>1,2＝，解得a＝9.综上，a＝9或a＝.-5-\n10．411．解 (1)依题意知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1.所以a2＝4.因此b2＝3.从而椭圆方程为＋＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以PF1＋PF2＝2a＝2×2＝4，又PF1－PF2＝1，所以PF1＝，PF2＝，又F1F2＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.即∠F1PF2的余弦值等于.12．解 由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，∴F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中，F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos60°，∴4＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF2·cos60°，∴4＝16－3PF1·PF2，∴PF1·PF2＝4，∴S△PF1F2＝PF1·PF2·sin60°＝×4×＝.13．解 如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，BC＝＝，∵PA＋PB＝CA＋CB-5-\n＝＋＝2，且PA＋PB>AB，∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝，c＝1，b＝1.∴所求曲线E的方程为＋y2＝1.-5-
