§2.2 函数的简单性质2．2.1 函数的单调性(一)一、基础过关1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是________．(填序号)①y＝x2－2；②y＝；③y＝1＋2x；④y＝－(x＋2)2.2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中错误的是________．(填序号)①>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；③f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)；④>0.3．若函数f(x)＝4x2－mx＋5－m在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m的值为________．4．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________．5．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.6．已知f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是________________．7．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．8．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．二、能力提升9．已知函数f(x)的图象是不间断的曲线，f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上的实根个数为________．10．函数f(x)＝(a为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x)>f(2x)的x的范围是________．12．求证：函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．-4-\n三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．-4-\n答案1．③2．③3．－164．(0，＋∞)5．－36．(－1,0)∪(0,1)7．解 y＝－x2＋2|x|＋3＝＝.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．8．解 函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝＝.∵1≤x1<x2，∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．9．110．(，＋∞)-4-\n11．(－∞，)12．证明 设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(－x＋1)－(－x＋1)＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x)．∵x1<x2，∴x2－x1>0，又∵x＋x1x2＋x＝2＋x且2≥0与x≥0.两式中两等号不能同时取得(否则x1＝x2＝0与x1<x2矛盾)，∴x＋x1x2＋x>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，又∵x1<x2，∴f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．13．解 设2<x1<x2，由已知条件f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋a＝(x1－x2)<0恒成立．由于x1－x2<0,x1x2>0，即当2<x1<x2时，x1x2>a恒成立．又x1x2>4，则0<a≤4.-4-
