考点规范练49 直线与圆锥曲线一、非标准1.双曲线的方程为=1(a>0,b>0),焦距为4,一个顶点是抛物线y2=4x的焦点,则双曲线的离心率e=( )A.2B.C.D.2.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.C.D.3.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若=0,则||+||+||=( )A.9B.6C.4D.34.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-25.已知A,B,P是双曲线=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )A.4B.3C.4D.87.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= . 8.(2022湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 . 9.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,线段MN中点的横坐标为-,求此双曲线的方程.10.(2022安徽,文21)设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.\n11.已知点F是双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是( )A.B.2C.1+D.2+12.(2022湖北,文8)设a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为( )A.0B.1C.2D.313.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=114.(2022江西,文20)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.15.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.\n##一、非标准1.A 解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1.又2c=4,c=2,∴e==2.2.C 解析:设F1,F2为焦点,由题意知,点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,则c<b⇒c2<b2=a2-c2⇒e2<.又e∈(0,1),所以e∈.3.B 解析:抛物线y2=4x的焦点F坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设A,B,C三点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).则=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(x3-1,y3).∵=0,∴x1-1+x2-1+x3-1=0,∴x1+x2+x3=3.∴||+||+||=x1+1+x2+1+x3+1=3+3=6.4.B 解析:过焦点F,且斜率为1的直线方程为y=x-,与抛物线方程联立可得y2-2py-p2=0,则y1+y2=2p=4,解得p=2.故准线方程为x=-1.5.D 解析:设A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,B(-x1,-y1),因为A,P在双曲线上,所以两式相减,得kPA·kPB=,所以e2=.故e=.6.C 解析:由抛物线的定义知|AF|=|AK|,又∵∠KAF等于直线AF的倾斜角,∴∠KAF=60°.∴△AFK是正三角形.联立方程组消去y,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.由题意得A(3,2),则△AKF的边长为4,面积为×42=4.7.2 解析:直线AB的方程为y=x-,由消去y得x2-3px+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.根据抛物线的定义,|BF|=x2+,|AF|=x1+,则|AB|=x1+x2+p=4p=8.解得p=2.\n8.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4x.由题意知过点P的直线为y=kx+k(k≠0),要使机器人接触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得y2-y+k=0,即Δ=1-k2<0,解得k>1或k<-1.9.解:设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则a2+b2=()2=7.①由消去y,得=1.整理,得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.(*)由直线y=x-1与双曲线有两个交点知a≠b,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1和x2为方程(*)的根,于是x1+x2=.由已知得=-,则=-,即5a2=2b2.②由①②得故所求双曲线方程为=1.10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k>0,且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e=.11.B 解析:将x=-c代入双曲线方程得A.由△ABE是直角三角形,得=a+c,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得c2-ac-2a2=0.∴e2-e-2=0,解得e=2(e=-1舍去).12.A 解析:可解方程t2cosθ+tsinθ=0,得两根0,-.不妨设a=0,b=-,\n则A(0,0),B,可求得直线方程y=-x,因为双曲线渐近线方程为y=±x,故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.13.D 解析:因为椭圆的离心率为,所以e=,c2=a2,a2=a2-b2.所以b2=a2,即a2=4b2.因为双曲线的渐近线为y=±x,代入椭圆得=1,即=1,所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b.则在第一象限的交点坐标为.所以四边形的面积为4×b×b=b2=16.解得b2=5,故椭圆方程为=1.14.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为注意到x1x2=-8及=4y1,则有y==-2.因此D点在定直线y=-2上(x≠0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,即|MN2|2-|MN1|2为定值8.15.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.\n
