考点规范练59 几何证明选讲一、非标准1.如图所示,已知DE∥BC,BF∶EF=3∶2,求AC∶AE和AD∶DB的值.2.如图,BD⊥AE,∠C=90°,AB=4,BC=2,AD=3,求EC的长.3.9\n如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点.若QC=1,CD=3,求PB的长.4.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E,求证:(1)△ABC≌△DCB;(2)DE·DC=AE·BD.9\n5.如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直于BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.6.9\n如图,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于点A,点B,且PB=7,C是圆上一点,使得BC=5,∠BAC=∠APB,求AB的长.7.如图所示,已知☉O1与☉O2相交于A,B两点,过点A作☉O1的切线交☉O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交☉O1,☉O2于点D,E,DE与AC相交于点P.若AD是☉O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AB的长.8.(2022河南郑州二模)如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.(1)证明:A,E,F,M四点共圆;9\n(2)若MF=4BF=4,求线段BC的长.9.(2022河南洛阳模拟)如图,已知PE切☉O于点E,割线PBA交☉O于A,B两点,∠APE的平分线和AE,BE分别交于点C,D.求证:(1)CE=DE;(2).##一、非标准1.解:∵DE∥BC,∴.∵BF∶EF=3∶2,∴.9\n同理DE∥BC,得AB∶AD=3∶2,∴,则AD∶BD=2∶1.2.解:在Rt△ADB中,DB=.依题意得,△ADB∽△ACE,∴,可得EC==2.3.解:由题意知PA=PB.PA切☉O于点A,由切割线定理可得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4.∴QA=2,∴PA=2×2=4=PB.4.证明:(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=BD.∵AB=DC,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB,∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC.∴∠DAC=∠DBC,∠EAD=∠DCB.∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC.∴∠EDA=∠DBC,∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD=AE∶CD,∴DE·DC=AE·BD.5.9\n(1)证明:如图,连接DE,交BC于点G.由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,则∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.6.解:由PA为圆O的切线,可得∠PAB=∠ACB.又∠BAC=∠APB,于是△APB∽△CAB,所以,而PB=7,BC=5,故AB2=PB·BC=7×5=35,即AB=.7.解:因为AC与☉O1相切,切点为A,所以∠BAC=∠ADB.又∠BAC=∠BEC,所以∠ADB=∠BEC.所以AD∥CE,9\n所以△CPE∽△APD.所以,即CE=AD.因为AP为☉O1的切线,PBD为☉O1的割线,所以由切割线定理得PA2=PB·PD=PB·(PB+BD),即36=PB·(PB+9),解得PB=3,在☉O2中,由相交弦定理知PB·PE=PA·PC,即3PE=2×6,得PE=4,又因为AD为☉O2的切线,DBE为☉O2的割线,所以由切割线定理可得DA2=DB·DE,即DA2=9×(9+3+4),得DA=12,所以CE=4,易证△CPE∽△BPA,所以,所以AB=CE=6.8.(1)证明:如图,连接AM.由AB为直径可知∠AMB=90°.又CD⊥AB,所以∠AEF=∠AMB=90°.所以∠AEF+∠AMB=180°.因此A,E,F,M四点共圆.(2)解:连接AC,由A,E,F,M四点共圆,可知BF·BM=BE·BA.9\n在Rt△ABC中,BC2=BE·BA.又由MF=4BF=4,知BF=1,BM=5,所以BC2=5,BC=.9.证明:(1)∵PE切☉O于点E,∴∠A=∠BEP.∵PC平分∠APE,∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE.又∠ECD=∠A+∠CPA,∠EDC=∠BEP+∠DPE,∴∠ECD=∠EDC.∴EC=ED.(2)∵∠PDB=∠EDC,∠EDC=∠ECD,∴∠PDB=∠PCE.又∠BPD=∠EPC,∴△PBD∽△PEC.∴.同理△PDE∽△PCA∴.∴.又DE=CE,∴.9
