考点规范练55 几何概型一、非标准1.(2022辽宁,文6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( ) A.B.C.D.2.已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.B.C.D.3.点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为( )A.B.C.D.π4.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.B.C.D.5.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=( )A.B.C.D.6.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a,则恰好使1是关于x的不等式2x2+ax-a2<0的一个解的概率为( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.77.8\n(2022福建,文13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 . 8.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为 . 9.在一个边长为1000m的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站,若向此区域内随机投放一个爆破点,且爆破点距离监测站200m内都可以被监测到,则随机投放一个爆破点被监测到的概率为 . 10.如图,边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的),则该点落在半圆内的概率为 . 11.如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为 . 12.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?从中随机取出30mL,含有麦锈病种子的概率是多少?8\n13.在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sin的值介于-之间的概率为( )A.B.C.D.14.设不等式组表示的平面区域为D,在D内任取一点P(x,y),若满足2x+y≤b的概率大于,则实数b的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)15.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为 . 16.在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率为 . 17.(2022重庆,文15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .(用数字作答) 18.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a,b,求方程=1表示焦点在x轴上,且离心率小于的椭圆的概率.8\n19.在长度为1的线段上任取两点,将线段分成三段,试求这三条线段能构成三角形的概率.##一、非标准1.B 解析:所求概率为,故选B.2.A 解析:试验的所有结果构成的区域长度为10min,而构成所求事件的区域长度为1min,故P=.3.C 解析:如图,满足|PA|≤1的点P在如图所示的阴影部分内运动,则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为.4.D 解析:不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域,设区域内点的坐标为(x,y),则在区域内取点,此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2+y2=4的外部,即图中的阴影部分,故所求的概率为.8\n5.D 解析:依题可知,E,F是CD上的四等分点,P只能在线段EF上且BF=AB.不妨设CD=AB=a,BC=b,则有b2+=a2,即b2=a2,故.6.D 解析:由已知得2+a-a2<0,解得a>2或a<-1.则当a∈[-5,-1)∪(2,5]时,1是关于x的不等式2x2+ax-a2<0的一个解.故所求概率为P===0.7.7.0.18 解析:由几何概型可知,所以S阴影=0.18.故答案为0.18.8. 解析:正方形的面积为36cm2时,边长AM=6cm,面积为81cm2时,边长AM=9cm,则P=.9. 解析:根据几何概型得所求的概率为P=.10. 解析:由题知该点落在半圆内的概率为.11. 解析:如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能的,所以OA落在∠yOT内的概率为.12.解:1L=1000mL,记事件A:“取出10mL种子含有这粒带麦锈病的种子”.则P(A)==0.01,即取出10mL种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.记事件B:“取30mL种子含有带麦锈病的种子”.则P(B)==0.03,即取30mL种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.13.D 解析:∵-1≤x≤1,∴-.由-≤sin,8\n得-,故所求事件的概率为.14.C 解析:区域D表示以点O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的正方形,其面积S1=1.根据题意,b>0,设正方形OABC位于直线2x+y=b下方部分面积为S2,因为直线2x+y=b在x轴,y轴上的截距分别为,b,所以当0<b≤1时,S2=.由题设,P==S2>.结合图形0<b≤1不合题意,当b>1时,显然S2>,故b的取值范围为(1,+∞).15. 解析:如图,设圆的半径为r,圆心为O,AB为圆的一条直径,CD为垂直AB的一条弦,垂足为M.若CD为圆内接正三角形的一条边,则O到CD的距离为.设EF为与CD平行且到圆心O距离为的弦,交直径AB于点N,则当过AB上的点,且垂直AB的弦的长度超过CD时,该点在线段MN上变化,故所求概率P=.16. 解析:要使2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax≤2x2+8,即a≤2x+在(0,+∞)上恒成立.又2x+≥2=8,当且仅当x=2时等号成立,所以只需a≤8,所以0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为.8\n17. 解析:用x轴表示小张到校时刻,用y轴表示小王到校时刻,建立如图直角坐标系.设小张到校的时刻为x,小王到校的时刻为y,则x-y≥5.由题意,知0≤x≤20,0≤y≤20,可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校.由得A(20,15).易知B(20,20),C(5,0),D(20,0).由几何概型概率公式,得所求概率P=.18.解:方程=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆,故即化简得又a∈[1,5],b∈[2,4],画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为,故所求的概率P=.19.解:设x,y表示三段长度中的任意两个.因为是长度,所以应有0<x<1,0<y<1,0<x+y<1,即(x,y)对应着坐标系中以(0,1),(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点,如图所示.8\n要形成三角形,由构成三角形的条件知则x<,y<,且x+y>,因此,图中阴影部分符合构成三角形的条件.因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的,所以这三条线段能构成三角形的概率为.8
