考点规范练61 不等式选讲一、非标准1.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.2.(2022江西,文15改编)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,求x+y的取值范围.3.若对任意的a∈R,不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立,求实数x的取值范围.4.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.5.已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,求的最小值.6\n6.(2022江苏,21)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.7.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,求a2+4b2+9c2的最小值.8.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,求实数a的取值范围.9.已知f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-1时,解关于x的不等式f(x)>5;6\n(2)已知关于x的不等式f(x)+a<2022(a是常数)的解集是非空集合,求实数a的取值范围.10.(2022河南郑州模拟)已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.##一、非标准1.解:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的最小值为,故原不等式恒成立转化为a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,即(a+1)≤0,解得a∈.2.解:∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,当且仅当0≤x≤1时取等号,|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,当且仅当0≤y≤1时取等号,∴|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.①又∵|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②∴只有当0≤x≤1,0≤y≤1时,①②两式同时成立.∴0≤x+y≤2.3.解:由|1+a|-|1-a|≤2,6\n得|x|+|x-1|≥2.当x<0时,-x+1-x≥2,x≤-.当0≤x≤1时,x+1-x≥2,无解.当x>1时,x+x-1≥2,x≥.综上,x≤-或x≥.4.解:函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|>m恒成立.因为对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,所以m<5,即m的取值范围是(-∞,5).5.解法一:由于(x+y+z)≥=36.所以≥36,最小值为36.当且仅当x2=y2=z2,即x=,y=,z=时,等号成立.解法二:=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)=14+≥14+4+6+12=36.最小值为36.当且仅当y=2x,z=3x,即x=,y=,z=时,等号成立.6.证明:因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0,故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy.6\n7.解法一:∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2),∴a2+4b2+9c2≥(a+2b+3c)2==12.∴a2+4b2+9c2的最小值为12.解法二:由柯西不等式,得(a2+4b2+9c2)·(12+12+12)≥(a·1+2b·1+3c·1)2=36,故a2+4b2+9c2≥12,从而a2+4b2+9c2的最小值为12.8.解:利用绝对值不等式的性质求解.∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.9.解:(1)构造函数g(x)=|x-1|+|x-2|-5,则g(x)=令g(x)>0,则x<-1或x>4,∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞).(2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a,又关于x的不等式f(x)+a<2022的解集是非空集合,∴|a+2|+a<2022,解得a<1006.10.解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},6\n所以解得a=2.(2)当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5),于是g(x)=|x-2|+|x+3|=所以当x<-3时,g(x)>5;当-3≤x≤2时,g(x)=5;当x>2时,g(x)>5.综上可得,g(x)的最小值为5.从而若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].6
