课时提升练(四十) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题1．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )A．(－2,1) B．(2,1) C．(1，－2) D．(1,2)【解析】 mx－y＋2m＋1＝0，即m(x＋2)－y＋1＝0.令得故定点坐标为(－2,1)．【答案】 A2．(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是( )【解析】 由已知得，0＜a＜1，排除A，D；与直线y＝x相比较知，选C.【答案】 C3．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )A．m≠－B．m≠0C．m≠0且m≠1D．m≠1【解析】 由得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．【答案】 D4．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)【解析】 因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．4\n【答案】 D5．(2022·黑龙江模拟)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.B．(0，π)C.D.∪【解析】 直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.当0≤k≤1时，倾斜角的范围是；当－1≤k＜0时，倾斜角的范围是.综上，倾斜角的取值范围是∪.【答案】 D6．(2022·郑州模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A．－1＜k＜B．k＞1或k＜C．k＞或k＜1D．k＞或k＜－1【解析】 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.【答案】 D二、填空题7．若A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．【解析】 由题意知＝，整理得2a＋2b＝－ab.∴＋＝－.【答案】 －8．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．4\n【解析】 ①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a.代入点(－3,5)，得a＝－8.即直线方程为x－y＋8＝0.【答案】 y＝－x或x－y＋8＝09．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．【解析】 线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，∴y＝4－x，代入xy得xy＝－x2＋4x＝－2＋3，∴由二次函数性质知，当x＝时，xy的最大值等于3.【答案】 3三、解答题10．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．【解】 (1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈∪(0，]，∴k＝∈(－∞，－]∪，∴α∈∪.综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.11．过点P(－1，－1)的直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，若P恰为线段AB4\n的中点，求直线l的斜率和倾斜角．【解】 设A(a,0)，B(0，b)，则∴即A(－2,0)，B(0，－2)，∴kAB＝＝－1，故直线l的倾斜角为135°.图81212．如图812所示，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．【解】 由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x，设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C，由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得解得m＝，所以A(，)．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.4
