【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学5－3几个重要不等式（含解析）一、选择题1．a、b为非零实数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋，M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)，N＝x1x2，则M和N的关系( )A．M≥N B．M＞NC．M≤ND．M＜N答案：A2．已知a、b∈R＋，且a＋b＝1，则＋的最大值是( )A．2B．2C.D．12答案：B3．已知x，y为实数，且满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为( )A．6B.C．11D.答案：D4．已知x＋y＋z＝1，则μ＝2x2＋3y2＋z2的最小值为( )A．1B．6C．11D.答案：D5．设a1、a2、…、an都是正数，b1、b2、…、bn是a1、a2、…、an的任一排列，则a1b＋a2b＋…＋anb的最小值是( )A．1B．nC．n2D．无法确定答案：B6．设a、b、c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则＋＋的最大值为( )A.B.C.D.答案：C二、填空题7．若a＋b＝1，则a2＋b2＝________.答案：18．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案：a≥4或a≤－29．设a1，a2，…，a2022都为正数，且a1＋a2＋…＋a2022＝1，则＋＋…＋的最小值是__________．答案：三、解答题10．求函数y＝＋的最大值．解析：因为y2＝(＋·)2≤[12＋()2][1－x＋2＋x]＝3×3，∴\ny≤3，当且仅当＝时取“＝”号，即当x＝0时，ymax＝3.11．已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．解析：由柯西不等式知：[x2＋(2y)2＋(3z)2]≥2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)．因为x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，所以a的值为.12．已知a，b，c为实数，且a＋b＋c＝2m－2，a2＋b2＋c2＝1－m.(1)求证：a2＋b2＋c2≥；(2)求实数m的取值范围．解析：(1)证明：由柯西不等式得：[a2＋2＋2](12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，即·14≥(a＋b＋c)2，所以a2＋b2＋c2≥，当且仅当|a|＝|b|＝|c|时，取等号．(2)由已知得(a＋b＋c)2＝(2m－2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m)≥(2m－2)2，即2m2＋3m－5≤0，所以－≤m≤1，又a2＋b2＋c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－≤m≤1.
