【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学4.1平面向量的概念及线性运算练习一、选择题1．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )A．0 B.C.D.解析：由于＝，故＋＋＝＋＋＝.答案：D2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，∴，故选D.答案：D3．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝( )A.(5e1＋3e2)B.(5e1－3e2)C.(3e2－5e1)D.(5e2－3e1)解析：因为矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝(＋)，故选A.答案：A4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为△ABC的( )A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点5\n解析：∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即是AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.答案：B5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点C)，则＝( )A．λ(＋)，λ∈(0,1)B．λ(＋)，λ∈C．λ(－)，λ∈(0,1)D．λ(－)，λ∈解析：如图所示，＝＋，又∵点P在上，∴与同向，且||<||，故＝λ(＋)，λ∈(0,1)．答案：A6．非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是( )A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2.答案：A二、填空题7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a、b表示)解析：由＝3，知N为AC的四等分点．5\n＝＋＝－＝－(＋)＝－＋＝－a＋b.答案：－a＋b8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.解析：＝＋，＝＋，＝＋，于是得，所以λ＋μ＝.答案：9．设V是已知平面M上所有向量的集合．对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f(a)．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，则f(0)＝0；②对a∈V，设f(a)＝2a，则f是平面M上的线性变换；③若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f(a)＝a－e，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，若a、b共线，则f(a)、f(b)也共线．其中的真命题是______．(写出所有真命题的编号)解析：对于①，f(0)＝f(0·0＋0·0)＝0·f(0)＋0·f(0)＝0，因此①正确．对于②，f(λa＋μb)＝2(λa＋μb)＝λ·(2a)＋μ·(2b)＝λf(a)＋μf(b)，因此②正确．对于③，f(λa＋μb)＝(λa＋μb)－e，λf(a)＋μf(b)＝λ(a－e)＋μ(b－e)＝λa＋μb－(λ＋μ)e，显然(λ＋μ)e与e不恒相等，因此③不正确．对于④，当a、b共线时，若a、b中有一个等于0，由于f(0)＝0，即此时f(a)、f(b)中有一个等于0，f(a)、f(b)共线；若a、b中均不等于0，设b＝λa，则有f(b)＝f(λa)＝f(λa＋0·0)＝λf(a)＋0·f(0)＝λf(a)，此时f(a)、f(b)共线，综上所述，当a、b共线时，f(a)、f(b)共线．综上所述，其中的真命题是①②④.答案：①②④三、解答题10．在△ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示5\n.解析：取AE的三等分点M，使|AM|＝|AE|，连接DM.设|AM|＝t，则|ME|＝2t.又|AE|＝|AC|，∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，且DM∥BE.∴在△DMC中＝＝∴CP＝CD∴DP＝CD＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋)＝＋＝a＋b.11．如图，已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于E，＝a，＝b.(1)用a与b表示向量、；(2)若＝λ，求实数λ的值．解析：(1)依题意，A是BC中点，∵2＝＋，即＝2－＝2a－b.5\n＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.(2)设＝λ，则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b，∵与共线，∴存在实数k，使＝k，(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.12．若M为△ABC内一点，且满足＝＋，求△ABM与△ABC的面积之比．解析：∵＝＋，∴＝(－)＋(－)，∴＋＝0，∴＝3，∴＝.5
