【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学1.1相似三角形的判定及有关性质一、填空题1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，AD∶AB＝1∶3.若DE＝2，则BC＝__________.解析：∵DE∥BC，∴＝，即＝.解得BC＝6.答案：62．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，延长AE交BC于F，则＝__________.解析：如图，过D作DG∥BC交AF于G，∵E是BD的中点，∴DG＝BF.又∵DG∥BC，∴＝＝.∴＝＝.答案：3．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是__________．解析：∵M、N分别是AB、BC的中点，6\n∴MN∥AC，MN＝AC.∴△MNO∽△CAO.∴＝2＝2＝.答案：1∶44．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD＝__________.解析：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△CDB∽△CBA.∴＝，即＝.∴CD＝2.答案：25．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12.则BE＝__________.解析：由于∠B＝∠D.∴∠AEB＝∠C，从而得△ABE∽△ADC.∴＝解得AE＝2，故BE＝＝4.答案：46．如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM＝__________；DN＝__________.解析：∵AD∥BC，BE＝EF＝FD，∴＝＝.∵AD＝BC＝24，∴BM＝12.∵AD∥BC，∴＝＝.6\n∴DN＝BM＝6.答案：12 67．如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，CD＝6，且AD∶BD＝3∶2，则斜边AB上的中线CE的长为__________．解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD.设AD＝3x，那么BD＝2x，AB＝5x，∵CD＝6，∴6x2＝62.∴x＝，AB＝5x＝5.∵CE是斜边AB上的中线，∴CE＝AB＝.答案：8．如图，D、E两点分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件：________________，使得△ADE∽△ABC.解析：∵∠A＝∠A，由两角对应相等，两三角形相似，可添加∠1＝∠B或∠2＝∠AED.由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加＝.答案：∠1＝∠B或∠2＝∠E或＝.9．如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AD上的一点，延长BE交AC于点F，若＝，则的值为__________．解析：过点A作AG∥BC，交BF延长线于点G.6\n由＝，得＝，由△AGE∽△DBE，得＝＝.由D为BC中点，知BC＝2BD，故＝.∵△AGF∽△CBF，∴＝＝.故＝.答案：10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且BC∶AC＝2∶3，则BD∶AD＝__________.解析：由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝＝.答案：三、解答题11．(2022·苏北模拟)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E.图1 图2(1)求证：△ABF∽△COE；(2)当O为AC边中点，＝2时，如图2，求的值；(3)当O为AC边中点，＝n时，请直接写出的值．解析：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠C.∵OE⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°，∵∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE.∴△ABF∽△COE；(2)方法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G.∵AC＝2AB，O是AC边的中点，∴AB＝OC＝OA.由(1)有△ABF∽△COE，∴△ABF≌△COE，∴BF＝OE.∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAB＋∠ABD＝90°，∴∠DAC＝∠ABD，6\n又∠BAC＝∠AOG＝90°，AB＝OA.∴△ABC≌△OAG，∴OG＝AC＝2AB.∵OG⊥OA，∴AB∥OG，∴△ABF∽△GOF，∴＝，＝＝＝2.方法二：∵∠BAC＝90°，AC＝2AB，AD⊥BC于D，∴Rt△BAD∽Rt△BCA.∴＝＝2.设AB＝1，则AC＝2，BC＝，BO＝，∴AD＝，BD＝.∵∠BDF＝∠BOE＝90°，∴△BDF∽△BOE，∴＝.由(1)知BF＝OE，设OE＝BF＝x，∴＝，∴x＝DF.在△DFB中x2＝＋x2，∴x＝.∴OF＝OB－BF＝－＝，∴＝＝2.(3)＝n.12．已知在△ABC中，点D在BC边上，过点C任作一直线与AB、AD分别交于点F、E.(1)如图①，DG∥CF交AB于点G，当D是BC的中点时，求证：＝.(2)如图②，当＝时，求证：＝.6\n(3)如图，当＝时，猜想：与之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵DG∥CF，BD＝DC，∴BG＝FG＝BF.∵FE∥DG，∴＝.∴＝＝.(2)过点D作DG∥CF交AB于G点，∴＝.又＝，∴DC＝2BD＝BC.∵DG∥FC，∴＝＝.∴FG＝BF，∴＝＝.(3)当＝时，有等式：＝·.证明如下：如题图，过D作DG∥CF交AB于G点．∴＝.又∵＝，∴＝.∵DG∥FC，∴＝＝.∴FG＝BF.∴＝＝·.6
