第76讲 柯西不等式、排序不等式及应用 1.若0<a1<a2，0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D. 2.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )A.B.C.D. 3.若2x＋3y＝1，则4x2＋9y2的最小值为________，且最小值点(x，y)为____________． 4.已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，则M＝(ax1＋bx2)·(bx1＋ax2)与4的大小关系是( )A．M>4B．M<4C．M≥4D．M≤4 5.函数y＝2＋的最大值为______． 6.已知x、y∈R＋，且＋＝1，则x＋y的最小值为______． 7.设a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥. 8.5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟、8分钟、6分钟、10分钟、5分钟，统筹安排这5个人接水的顺序，使他们等待的总时间最少为________分钟． 9.函数y＝3sinx＋4的最大值为________．10.(2022·福建卷)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.4\n4\n4\n第76讲1．A 2.B 3. (，) 4.C 5.3 6.97．证明：运用柯西不等式得，[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)](＋＋)≥(a＋b＋c)2.所以＋＋≥.8．84 解析：5个人接水分别按4分钟、5分钟、6分钟、8分钟、10分钟的顺序进行，因此等待的总时间最少为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84分钟．9. 解析：y＝3sinx＋4＝3sinx＋4≤＝，当且仅当＝±，即tanx＝±时，ymax＝.10．(1)因为f(x＋2)＝m－|x|≥0，所以|x|≤m.所以m≥0，－m≤x≤m，又f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知＋＋＝1，a，b，c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9.4
