第15讲 导数在函数中的应用 1.函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图象如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( )A.[－，1]∪[2，3)B.[－1，]∪[，]C.[－，]∪[1，2)D.(－，－]∪[，]∪[，3) 2.函数f(x)＝3x－4x3在区间[0，1]上的最大值与最小值分别是( )A．2，1B．1，0C．0，－1D．1，－1 3.函数y＝x3－3x的单调递减区间是( )A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1，1)D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 4.(2022·重庆卷)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，其函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 5.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__________． 6.函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________． 7.已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求f(x)在该区间上的最小值．5\n 8.(2022·陕西卷)设函数f(x)＝＋lnx，则( )A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点 9.已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且当x>0时，>f′(x)，则函数y＝的单调减区间是____________；若m>0，k>1，则kf(m)与f(km)的大小关系是__________________．10.已知实数a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)．(1)若函数f(x)有极大值，求实数a的值；(2)若对任意的x∈[－2，1]，不等式f(x)<32恒成立，求实数a的取值范围．5\n5\n第15讲1．A 2.D 3.C 4.D 5.[－3，＋∞) 6. 7.解析：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．又因为在(－1，3)上，f′(x)>0，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，在[－2，－1]上单调递减．因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.8．D 解析：f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2，0<x<2时，f′(x)<0，f(x)＝＋lnx为减函数；x>2时，f′(x)>0，f(x)＝＋lnx为增函数，所以x＝2为f(x)的极小值点，选D.9．(0，＋∞) kf(m)>f(km)解析：由y′＝()′＝，又>f′(x)(x>0)，所以y′<0，因此y＝在(0，＋∞)上是减函数．又k>1，m>0，则km>m，所以<，即kf(m)>f(km)．10．解析：(1)f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)(x－2)＝0.令f′(x)＝0，得x＝或2.因为f(x)有极大值，而f(2)＝0，所以f()＝，解得a＝1.(2)f′(x)＝a(3x－2)(x－2)，当a>0时，f(x)在[－2，]上递增，在[，1]上递减，f(x)max＝f()＝a<32，即a<27.所以0<a<27.当a<0时，f(x)在[－2，]上递减，在[，1]上递增，f(－2)＝－32a>f(1)＝a，f(x)max＝－32a<32，即a>－1，所以－1<a<0.综上可得a∈(－1，0)∪(0，27)．5\n5
